Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

✻u effρ 1 ρ 2u 2u 1✲ ρFig. 3.25. Grafico del potenziale efficace.– e < u 1 : denoto con ρ e la sola soluzione dell’equazione e − u eff (ρ) = 0. Il moto è ammissibile nellaregione ρ ≥ ρ e . Esiste un’orbita illimitata.– e = u 1 : le due soluzioni dell’equazione e − u eff (ρ) = 0 sono ρ 1 e ρ e > ρ 1 . Il moto è ammissibilenella regione {ρ 1 } ∪ [ρ e , +∞). Esiste un’orbita illimitata e un’orbita a distanza fissa dall’origine:ρ(t) = ρ 1 . Quindi esiste un moto circolare. Per il moto circolare posso scrivere l’equazione radiale:˙θ = L/(µρ 2 (t)) = L/(µρ 2 1). Quindi la velocità angolare è costante: il moto è circolare uniforme.Infine, il periodo del moto è T 1 = 2π/ ˙θ = 2πµρ 2 1 /L.– u 1 < e < u 2 : denoto con ρ e 1 < ρ e 2 < ρ e 3 le tre soluzioni dell’equazione e − u eff (ρ) = 0. Il moto èammissibile nella regione [ρ e 1 , ρe 2 ] ∪ [ρe 3 , +∞)]. Esiste un’orbita illimitata che si svolge nella regioneρ ≥ ρ e 3 e un’orbita limitata che si svolge nella corona circolare di raggio interno ρe 1 e raggio esternoρ e 2.– e = u 2 : le due soluzioni dell’equazione e − u eff (ρ) = 0 sono ρ 2 e ρ e < ρ 2 . Il moto è ammissibilenella regione [ρ e , +∞). Esistono due orbite illimitate e asintotiche a ρ 2 , un’orbita limitata chesi svolge nella corona circolare di raggi ρ e e ρ 2 e che è asintotica a ρ 2 . Infine esiste un’orbita adistanza fissa dall’origine: ρ(t) = ρ 2 . Quindi esiste un moto circolare. Per il moto circolare possoscrivere l’equazione radiale: ˙θ = L/(µρ 2 (t)) = L/(µρ 2 2 ). Quindi la velocità angolare è costante: ilmoto è circolare uniforme. Infine, il periodo del moto è T 2 = 2π/ ˙θ = 2πµρ 2 2/L.– e > u 2 : denoto con ρ e la sola soluzione dell’equazione e − u eff (ρ) = 0. Il moto è ammissibile nellaregione ρ ≥ ρ e . Esiste un’orbita illimitata.4. Fissato il momento angolare L della particella, l’orbita circolare uniforme ρ(t) = ρ 1 è ottenuta conuna condizione iniziale ρ(0) = ρ 1 , ˙ρ(0) = 0, ˙θ(0) = L/(µρ21 ) e θ(0) arbitrario (per esempio θ(0) = 0).In altri termini la particella viene posta a distanza ρ 1 dall’origine e viene lanciata con velocità angolare˙θ(0) = L/(µρ 2 1 ) tangenzialmente alla circonferenza di raggio ρ 1 centrata nell’origine (figura 3.26a).Ora si considera la medesima condizione iniziale, ma con una piccola velocità radiale ˙ρ(0) = √ 2ε/µ(figura 3.26b). Osservo che l’energia radiale della particella èe = 1 2 µ ˙ρ2 (0) + u eff (ρ 1 ) = u 1 + ε > u 1quindi l’orbita non è circolare, ma si sviluppa all’interno di una corona circolare di raggi ρ 1 (ε) < ρ 2 (ε).Mi pongo il problema di descrivere l’orbita della particella per piccoli valori di ε (al primo ordine in ε).In primo luogo determino i due raggi ρ 1 (ε) < ρ 2 (ε): devo risolvere l’equazione e − u eff (ρ) = 0. Pongoρ = ρ 1 + δ con δ ∈ R piccolo e risolvo l’equazione sviluppandola al secondo ordine in δ.e − u eff (ρ 1 + δ) = 0 ⇒ u 1 + ε − 1 2 (ρ 1 + δ) 2 + 1 6 (ρ 1 + δ) 6 −L 22µρ 2 2δ1 (1 +ρ 1+ δ2 ) = 0ρ 2 2 1fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 82