Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

cosa accade se si considera il limite di infiniti gradi di libertà, cioè se si lascia crescreil parametro n. Ciò dovrà essere fatto tenendo costanti i parametri fisici del sistemacontinuo, cioè la massa M, la tensione τ e la lunghezza L; allora per n → ∞ si hal = L n → 0, m = Mn + 1 → 0 e k = τ l = τ L n → ∞Si osservi che il passo reticolare l tende a zero, per questa ragione questa proceduraè nota come limite del continuo. Il numero di particelle diverge e ciascuna di esse dovràessere individuata dalla variabile continua x ∈ [0, L]; a ogni particella si associerà laquantità u(x, t) che ne rappresenta la deviazione dalla sua posizione di equilibrio sull’assex misurata lungo l’asse z. Il problema può essere visto sotto una luce leggermente diversa,cioè si può pensare al campo continuo u(x, t) come a una funzione il cui andamentotemporale approssima il comportamento della variabile discreta u j (t) = u(jl, t), con j =0, . . . , n, per piccoli valori del passo reticolare l.A questo punto si deve cercare di dedurre un’equazione per il campo scalare u a partiredalle equazioni del moto (4.22). Visto il comportamento limite dei parametri l, k e m èutile riscrivere le equazioni del moto del sistema discreto nel modo seguente:ml üi − kl 1 [u i+1 − u il l− u i − u i−1]= 0lQuesta espressione permette di interpretare in modo agevole il significato di ciascunodei suoi termini nel limite del continuo. Per quanto riguarda i fattori costanti presentinell’equazione precedente si ha che kl = τ e m/l → M/L = ϱ per n → ∞; mentre illimite dei termini contenenti u i può essere interpretato come segueü j = ∂2 u∂t 2 (x i, t)e1[u i+1 − u il l− u i − u i−1] ∂ 2 u →l ∂x (x j−1, t)2Dalle osservazioni precedenti si deduce che le equazioni del moto del sistema discreto nellimite del continuo si riducono all’equazione di d’Alambert (4.20) con c = √ τ/ϱ.4.8. Oscillazioni non lineari ed equazione di BurgerNel paragrafo 4.7 sono state studiate le oscillazioni trasversali di una catena di oscillatoriarmonici e si è visto come nel limite del continuo si ottenga l’equazione di d’Alambert.Lo stesso risultato può essere ottenuto per lo studio delle oscillazioni longitudinali diuna sbarra elastica, in questo caso l’etichetta j individuerà l’elemento della sbarra la cuiposizione di equilibrio è x j = jl e u j (t) misurerà di quanto, all’istante t, l’elemento risultaspostato rispetto alla sua posizione di equilibrio. In caso di accoppiamento elastico dicostante k > 0 tra elementi primi vicini si ottiene l’energia potenzialeU = 1 n−12 k ∑(u j+1 − u j ) 2 (4.23)Procedendo come nel paragrafo 4.7 si ottengono le equazioni del moto (4.22).j=0fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 94