Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Da questa proprietà segue che w è costante su ω(x): sia, infatti, y ∈ ω(x), per definizionedi insieme limite esiste una successione monotona t k divergente positivamente tale cheϕ(t k ) → y per k → +∞; allora, ricordando che w è continua,w(y) = w( lim ϕ(t k)) = lim w(ϕ(t k)) = w xk→+∞ k→+∞In conclusione w è costante su ω(x) e w(y) = w x per ogni y ∈ ω(x).Si suppone, infine, per assurdo che l’insieme limite ω(x) contenga un punto z ∈ Cdiverso da x e ; si raggiungerà una contraddizione e per eliminare l’assurdo si dovrà dedurreche ω(x) non può contenere punti diversi da x e , ma dal momento che ω(x) ≠ ∅ si dovràconcludere ω(x) = {x e }. Da ciò seguirà immediatamente la tesi. Per ottenere l’assurdo siconsidera l’unica orbita ψ del sistema dinamico con dato iniziale ψ(t 0 ) = z; dal momentoche ψ(t 0 ) = z ∈ ω(x) e dall’invarianza degli insiemi limite, si veda 2 [4, Proprietà 16.19],si ha che ψ(t) ∈ ω(x) per ogni t ≥ t 0 . In conclusioneψ(t) ∈ ω(x) ∀t ≥ t 0 ⇒ w(ψ(t)) = w x ∀t ≥ t 0cioè w è costante lungo l’orbita uscente da z; ciò è in contraddizione con le ipotesi delteorema.Teorema 2.36 □Esercizio 2.12. Si consideri l’equazione differenziale lineare del secondo ordine che descrive il moto di unapalla di massa m sottoposta all’azione di una forza derivante dal potenziale quartico u(x) = −az 2 + bz 4 ,con a, b > 0. Il moto è descritto dall’equazione di Newton:m¨z + dudz = 0 (2.32)Si risponda ai seguenti quesiti: 1. si riconduca la (2.32) a un sistema dinamico planare. 2. Si determiniuna costante del moto. 3. Si determino i punti di equilibrio e 4. se ne studi la loro stabilità. 5. Si disegninole curve di livello e si determini l’insieme Π dei dati iniziali che danno luogo a orbite periodiche. 6. Siscriva come integrale definito il periodo dell’orbita con dato iniziale ( √ a/4b, 0).Soluzione: 1. L’equazione (2.32) può essere scritta nella forma (2.6) introducendo le due nuove variabiliq = z e p = mż, rispettivamente la posizione e l’impulso della palla. Infatti{ { { q = z ˙q = ż˙q = p/mp = mż⇒ ṗ = m¨z = − du⇒dz= +2az − 4bz3 ṗ = +2aq − 4bq 3 (2.33)Il sistema (2.33) è un sistema dinamico nella forma (2.6) con x = (q, p) ∈ R 2 e campo delle direzionif(q, p) = (p/m, 2aq − 4bq 3 ).2. Si può scrivere direttamente l’energia meccanica del sistema oppure si usano le (2.14) con µ unafunzione costante. Per esempio si cerca h soluzione del sistema∂h∂q (q, p) = −f 2(q, p) = −2aq + 4bq 3e∂h∂p (q, p) = f 1(q, p) = p/mDalla prima si ottiene h(q, p) = −aq 2 + bq 4 + ψ(p) con ψ(p) una funzione incognita nella sola variabile p.Sostituendo nella seconda si ha∂ψ∂p = 1 m p ⇒ ψ(p) = 12m p2 + cost2 Questa proprietà è una conseguenza abbastanza semplice del teorema sulla dipendenza continua daldato iniziale, cui si è fatto cenno nel capitolo 1, che non è viene discusso in queste note.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 49