Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Sostituendo queste espressioni nell’equazione (4.25) e tenendo soltanto i termini non linearidi ordine più basso si ritrova l’equazione (4.26). Ma se si considera anche il contributo diordine l 2 nello sviluppo del primo termine al secondo membro si haϱ ∂2 u∂t 2 = [τ + α ′ ∂u∂x] ∂ 2 u∂x + τl2 ∂ 4 u2 6 ∂x ⇒ 1 ∂ 2 u4 c 2∂t − ∂2 u ∂u= 2 α′′∂x2 ∂x∂ 2 u∂x + l2 ∂ 4 u2 6 ∂x 4dove i parametri del modello discreto sono stati riscalati come ϱ = m/l, τ = kl e α ′ =2αl 2 , e dove si è posto c = √ τ/ϱ e α ′′ = α ′ /τ; si è ottenuta un’equazione analoga a (4.26)in cui compare, però, un termine correttivo di ordine l 2 .Procedendo com nel paragrafo 4.8, considerando cioè il cambiamento di variabiliξ(x, t) = x − ct e η(x, t) = ct e la funzione v : R 2 → R tale che v(ξ(x, t), η(x, t)) = u(x, t),si perviene all’equazione alle derivate parziali2 ∂2 v∂η∂ξ∂v ∂ 2 v+ α′′∂ξ ∂ξ + l2 ∂ 4 v2 6 ∂ξ = ∂2 v4 ∂η 2Per soluzioni v che dipendono poco dalla variabile η, nel senso che ∂ 2 v/∂η 2 è trascurabile,se si pone w = ∂v/∂ξ l’equazione precedente si riduce all’equazione di Korteweg–deVries∂w∂η + α′′2 w ∂w∂ξ + l2 ∂ 3 w6 ∂ξ = 0 (4.29)3L’equazione di Kortweg–de Vries fu introdotta nel 1895 in [7] per studiare la propagazionedelle onde lungo canali poco profondi. Nel 1965 Zabusky e Kruskal [8] mostrarono chetale equazione ammette soluzioni solitoniche.5. Caratteristiche delle equazioni alle derivate parziali del primo ordineUn’equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine nella funzione incognitau : x ∈ R n → u(x) ∈ R è un’equazione nella forma(F x 1 , . . . , x n , u, ∂u , . . . , ∂u )= 0 (5.1)∂x 1 ∂x ndove F : R n ×R×R n → R è una funzione assegnata. Il problema consiste nel determinareuna funzione u : x ∈ J ⊂ R n → u(x) ∈ R che ammetta le derivate parziali del primoordine nell’aperto J ⊂ R n e tale che(F x 1 , . . . , x n , u(x), ∂u (x), . . . , ∂u )(x) = 0 ∀x ∈ J∂x 1 ∂x ntale funzione è detta integrale o soluzione dell’equazione differenziale (5.1) nell’aperto J.Tra le equazioni (5.1) le più semplici sono quelle lineari e le generalizzazioni più elementari.Un equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine nella formaa 1 (x) ∂u∂x 1(x) + · · · + a n (x) ∂u∂x n(x) = f(x) − a 0 (x)u(x) (5.2)fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 97