Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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1. piccole oscillazioni di una corda tesa di lunghezza e densità a riposo l e ϱ e tensione τ.In questo caso la velocità di fase dell’equazione delle onde è c = √ τ/ϱ. Condizioniai limiti sensate sono condizioni di Cauchyu(x, 0) = u 0 (x)e condizioni di Dirichelete∂u∂t (x, 0) = v 0(x) ∀x ∈ [0, l] (6.8)u(0, t) = u(l, t) = 0 ∀t ≥ 0che traducono l’ipotesi fisica che gli estremi della corda siano fissi.2. Oscillazioni longitudinali di una sbarra con estremi liberi e con modulo di YoungE e densità ϱ. In questo caso la velocità di fase è c = √ E/ϱ. Condizioni ai limitisensate, oltre alle ovvie condizioni di Cauchy (6.8), sono le condizioni di Neumann:∂u ∂u(0, t) = (l, t) = 0 ∀t ≥ 0∂x ∂xche significano assenza di forse esterne agenti sugli estremi liberi della sbarra.3. Nelle stesse ipotesi del punto precedente, se gli estremi sono fissati rigidamente lecondizioni ai limiti da usare sono di Dirichelet:u(0, t) = u(l, t) = 0 ∀t ≥ 04. Nelle stesse ipotesi del punto precedente, se gli estremi sono fissati elasticamente lecondizioni ai limiti da usare sono miste:∂u∂u(0, t) − hu(0, t) = (l, t) + hu(l, t) = 0 ∀t ≥ 0∂x ∂xove h = k/(ES), E modulo di Young della sbarra, S sezione trasversale, k modulodi Young dell’estremo.Esercizio 6.48. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 − 1 ∂ 2 uc 2 ∂t 2 = 0 in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < π, t > 0}con condizioni di Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t > 0, u(x, 0) = sin x e ∂u/∂t(x, 0) =0.Soluzione 6.48: u(x, t) = sin x cos ct.Esercizio 6.49. Come l’Esercizio 6.48, con condizioni Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ognit > 0, ∂u/∂t(x, 0) = 0 e⎧⎨ x 0 ≤ x ≤ π/2u(x, 0) =.⎩−x + π π/2 ≤ x ≤ πSoluzione 6.49: u(x, t) = ∑ +∞k=0 [4(−1)k /π(2k + 1) 2 ] sin(2k + 1)x cos(2k + 1)ct.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 110
Esercizio 6.50. Come l’Esercizio 6.48, con condizioni Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ognit > 0, u(x, 0) = 0 e ∂u/∂t(x, 0) = b sin x, con b ∈ R.Soluzione 6.50: u(x, t) = (b/c) sin x sin ct.Esercizio 6.51. Come l’Esercizio 6.48, con condizioni Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ognit > 0, u(x, 0) = 0 e00 ≤ x ≤ x⎧⎪ 0 − a∂u ⎨∂t (x, 0) = bx/a + (a − x 0 )b/a x 0 − a ≤ x ≤ x 0⎪ −bx/a + (a + x ⎩ 0 )b/a x 0 ≤ x ≤ x 0 + a0 x 0 + a ≤ x ≤ π,con x 0 ∈ (0, π) e a ∈ R tale che 0 < a ≤ min(x 0 , π − x 0 ).Soluzione 6.51: u(x, t) = ∑ +∞n=1 [4 sin nx 0(1 − cos na)/πacn 3 ] sin nx cos nct, si osservi che l’ampiezzadell’armonica n–esima decade come 1/n 3 .Esercizio 6.52. Si risolva il problema di Cauchy (6.8) per la corda limitata di lunghezza π e con estremifissi nei seguenti casi1. u 0 (x) = 0, v 0 (x) = 1;2. u 0 (x) = 1, v 0 (x) = 0;3. u 0 (x) = 3hx/(2π) se 0 ≤ x ≤ 2π/3, u 0 (x) = 3h(π − x)/π se 2π/3 ≤ x ≤ π, v 0 (x) = 0;4. u 0 (x) = sin 3 x, v 0 (x) = 0;5. u 0 (x) = sin x, v 0 (x) = 0 se 0 ≤ x ≤ π/4, v 0 (x) = a se π/4 < x < 3π/4, e anche v 0 (x) = 0 se3π/4 ≤ x ≤ π;Soluzione 6.52: 1. u(x, t) = [4/(cπ)] ∑ n≥1 [1/(2n − 1)2 ] sin[(2n − 1)x] sin[(2n − 1)ct].2. u(x, t) = [4/π] ∑ n≥1[1/(2n − 1)] sin[(2n − 1)x] sin[(2n − 1)ct].3. u(x, t) = [9h/π 2 ] ∑ n≥1 [1/n2 ] sin(2nπ/3) sin(nx) sin(nct).4. u(x, t) = [3/4] sin x cos(ct) − [1/4] sin(3x) cos(3ct).5. u(x, t) = sin x cos(ct) + [4a/(cπ)] ∑ n≥1 [(−1)n /(2n − 1) 2 ] sin[(2n − 1)π/4] sin(nx) sin(nct).Esercizio 6.53. Si confrontino, risolvendo il problema di Cauchy (6.8) in D = {(x, t) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤l, t ≥ 0}, le vibrazioni dei seguenti strumenti a corda:1. arpa: u 0 (x) = βx/a se 0 ≤ x ≤ a, u 0 (x) = β(l − x)/(l − a) se a ≤ x ≤ l, v 0 (x) = 0;2. pianoforte: u 0 (x) = 0, v 0 (x) = µ se a − ε < x < a + ε, v 0 (x) = 0 altrove, con ε ≪ 1;3. violino: u 0 (x) = 0 e v 0 (x) = 4βc(l − x)/l 2 .Soluzione 6.53: per l’arpa si ottienePer il pianoforte si trova:u(x, t) =u(x, t) = 4µlπ 2 c2βl 2π 2 a(l − a)∞∑n=1∞∑ 1[ nπa] [ nπx] [ ] nπctn 2 sin sin sinl l ln=11[ nπε]n 2 sin sinl[ nπa]sinl[ nπx]sinl[ ] nπctlPer il violino si trova:u(x, t) = 8βπ 2∞ ∑n=11[ nπx] [ ] nπctn 2 sin sinl lfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 111
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Esercizi e appunti per il corso di
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⇒ x(t) = Ce tcon C ∈ RImpondend
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✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x
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viene scelto vicino a x 2 il sistem
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Esercizio 1.4. Supponendo uniforme
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Questo è parzialmente vero nel cas
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L’integrale, infatti, ha senso pe
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sensato, perché si ricorda che le
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dimostrare che il tempo t 1 − t 0
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con f : R n → R una funzione asse
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Come nel caso unidimensionale verif
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- asintoticamente stabile se e solo
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Esempio 2.9. Sulla base di argoment
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x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄
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Per esempio nel punto ¯x = (0, 1)
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livello chiusa, questa osservazione
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(x 2 + y 2 )/2. Si può verificare
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- Per a = 1, la curva di livello pa
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Teorema 2.21 Si consideri il sistem
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ciò fa intuire che in qualche sens
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Teorema 2.28 (Stabilità dei sistem
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La palla B δ (x e ) è proprio que
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e si studia la matrice associata al
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−ω 2 sin θ, dove ω = √ g/l
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Da questa proprietà segue che w è
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✲✲✛✛P 3p✻✲✲✛✛P 2
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−πp✲✻✲✲ ✲✛0 π q✛
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è soddisfatta, perché L f ′w(q,
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y✻✛− √ 2✲✲ ✲✲✛
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