Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

la struttura del ritratto di fase si cerca un integrale primo del sistema dinamico: si considera il campoν(x, y) = (4x(x 2 − 1), −2y) ortogonale in ogni punto al campo delle direzioni e, ricordando che l’integraleprimo deve avere gradiente parallelo a ν in ogni punto, deve esistere una funzione µ : R 2 → R tale che∇u(x, y) = µ(x, y)ν(x, y), ovvero∂u∂x = 4x(x2 − 1)µ(x, y)e∂u∂y= −2yµ(x, y) (2.19)Si deve determinare µ in modo che il campo differenziale costituito dalle due funzioni al secondo memebrodelle equazioni precedenti sia chiuso:∂∂y [4x(x2 − 1)µ(x, y)] = ∂∂x [−2yµ(x, y)] ⇒ [4x(x2 − 1)] ∂µ∂y = [−2y]∂µ ∂xL’equazione precedente è soddisfatta se si sceglie µ(x, y) = 1; allora l’integrale primo è soluzione delleequazioni (2.19) con µ = 1. Integrando la prima si ha u(x, y) = x 4 − 2x 2 + Φ(y), dove Φ è una funzionearbitraria della sola variabile y, sostituendo questa espressione nella seconda delle (2.19) si trovaΦ ′ (y) = −2y ⇒ Φ(y) = −y 2 + costante ⇒ u(x, y) = x 4 − 2x 2 − y 2 + 1 = (x 2 − 1) 2 − y 2dove la costante è stata scelta uguale a uno per porre u in una forma compatta. Si può verificare che icalcoli eseguiti sono corretti verificando che la derivata di Lie della funzione u rispetto al campo vettorialef è nulla in ongi punto:∇u · f = (4x 3 − 4x, −2y) · (2y, 4x 3 − 4x) = 8x 3 y − 8xy − 8x 3 y + 8xy = 0Per disegnare le curve di livello u(x, y) = a, con a ∈ R fissato, è conveniente iniziare con quelle passantiper i punti critici: u(−1, 0) = u(1, 0) = 0 e u(0, 0) = 1. Si considera dapprima la curva di livello a = 0,cioè (x 2 − 1) 2 − y 2 = 0, che fornisce le due parabole y = x 2 − 1 e y = −(x 2 − 1); quindi in corrispondenzadel valore a = 0 si hanno le due parabole passanti per i punti fissi P 1 e P 3 disegnate nel grafico di destradella figura 2.13. Si considera, ora, la curva di livello a = 1, cioè (x 2 − 1) 2 − 1 = y 2 , che fornisce ilpunto fisso nell’origine e le curve di equazione y = ± √ (x 2 − 1) 2 − 1 = ± √ x 2 (x 2 − 2). Queste curve sonodefinite nella regione x < √ 2 e x > √ 2, negli estremi degli intervalli di definizione intersecano l’asse y ein questo punto hanno derivata verticale, per esempio per il ramo positivod √x2 (xdx2 1− 2) =2 √ x 2 (x 2 − 2) (4x3 − 4x) = 2x(x2 − 1)√x2 (x 2 − 2)L’espressione della derivata appena calcolata mostra anche che l’arco di curva di livello considerato èdecrescente nella regione x < √ 2 e crescente nella regione x > √ 2. Tutte queste osservazioni permettonodi disegnare la curva di livello a = 1; si veda la figura 2.13.Tutte le altre curve di livello possono essere disegnate per continuità e il verso di percorrenza puòessere stabilito sulla base del campo delle direzioni sui punti della curva, si veda il grafico a destra nellafigura 2.13. Sulla base del ritratto di fase in figura si può concludere, anche se a rigore non si tratta didimostrazioni cristalline perché le linee di fase sono state dedotte con argomenti non del tutto rigorosi,che il punto fisso P 2 è stabile, mentre gli altri due punti fissi sono instabili. La curva di livello passanteper i punti fissi instabili, cioè la curva di livello u(x, y) = 0, è detta separatrice e in questo caso ècostitutita da due parabole.Per quanto riguarda i valori di a nelle diverse regioni in cui è suddiviso il ritratto di fase è sufficientecalcolare u(x, y) in qualche punto opportuno e poi ricordare che u è una funzione continua:– per a = 0, la curva di livello è la separatrice, cioè passa per i due punti fissi instabili, ed è costituitadall’unione dei due grafici delle parabole di equazione y = ±(x 2 − 1). Sulla separatrice giaccionootto linee di fase, due delle quali corrispondono ai punti fissi.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 34