Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

y✻✩✻ ✲ xy✻✩✄ ✄✗✲ x(a)(b)Fig. 3.26. Condizioni iniziali: (a) per l’orbita circolare; (b) per una piccola deviazione dall’orbita circolare.da cui si ottiene ρ(t) ≥ ρ 1 + √ 2ε/µt.Esercizio 3.9. Si consideri una particella di massa µ sottoposta all’azione di una forza centrale dipotenzialeu(r) = κr 2 + α r 2 (3.18)con κ > 0. 1. Si scrivano le equazioni del moto e il principio di conservazione dell’energia. 2. Si disegni ilgrafico del potenziale efficace nel caso γ := 1 + 2µα/L 2 > 0. 3. Si discuta qualitativamente il moto dellaparticella e si dimostri che esiste un moto circolare uniforme di raggio ρ 0 . Se ne determinini il periodoT 0 . 4. Sia u 0 = u eff (ρ 0 ): si scriva l’equazione dell’orbita per moti con energia e > u 0 . 5. Si dica per qualivalori di α l’orbita determinata al punto 4 è chiusa.Soluzione: si veda la soluzione di [4] per il moto armonico in tre dimensioni.4. Introduzione alle equazioni alle derivate parzialiDallo studio della meccanica dei sistemi è noto che il modello che descrive il comportamentofisico di un sistema di molte particelle viene definito introducendo un numerodi variabili uguale al numero di gradi di libertà del sistema. Queste variabili sono dettecoordinate lagrangiane e permettono di individuare in modo univoco la posizione di tuttele particelle che costituiscono il sistema rispetto al riferimento relativamente al quale sistudia il moto. Le coordinate lagrangiane vengono pensate come funzioni del tempo ela conoscenza di tali funzioni permette di seguire il sistema durante il suo moto istanteper istante, cioè permette di stabilire a ogni istante la posizione di ciascuna particella,la sua velocità e, più in generale, il valore di una qualsiasi osservabile fisica associata alsistema. Dal punto di vista fisico un’osservabile è una grandezza caratteristica del sistemache può essere misurata sperimentalmente, nel modello matematico che descrive il sistemaun’osservabile è una qualsiasi funzione delle coordinate lagrangiane; ovviamente sarà utilestudiare l’andamento di quelle osservabili che hanno un’interessante interpretazione fisica.Nel contesto della meccanica dei sistemi discreti le variabili di posizione, ovvero le coordinatelagrangiane, e la variabile temporale giocano ruoli diversi; le une vengono semprepensate come funzione dell’altra. Più precisamente dette q i le coordinate lagrangiane edetta t la variabile temporale il problema consiste nel determinare le funzioni q i (t) soluzionidelle equazioni del moto e soddisfacenti opportune condizioni iniziali. Vi sono problemifisici, d’altro canto, che non possono essere schematizzati con un modello di questo tipo;si pensi, per esempio, al problema dell’elettromagnetimo. In questo contesto si immaginadi avere una distribuzione di carica e di corrente assegnata in tutto lo spazio e nota inogni istante; in altri termini si pensa alla variabile spaziale q ∈ R 3 come a un’etichettache, assieme alla variabile temporale t ∈ R, individua una posizione e un istante in cui sifismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 84