Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

la soluzione dipende da b, ma nel limite b → ∞ il primo addendo converge uniformemente a zero (condensatorea facce piane parallele).Esercizio 6.20. Il condensatore piano a facce parallele. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D :={(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, −∞ ≤ y ≤ +∞} con condizioni di Dirichelet u(0, y) = 0 e u(a, y) = V per ogniy ∈ R.Soluzione 6.20: (suggerimento: u(x, y) = X(x)) u(x, y) = V x/a.Esercizio 6.21. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} concondizioni di Dirichelet u(0, y) = u(a, y) = 0 per ogni y ∈ [0, b], u(x, 0) = 0 e u(x, b) = V per ogni x ∈(0, a). Si verifichi che la soluzione è simmetrica rispetto all’asse x = a/2, ovvero u(x, y) = u(a − x, y) perogni (x, y) ∈ D (suggerimento: si ricorda che per ogni n ≥ 1 intero si ha sin[n(π − α)] = (−1) n+1 sin nα).Soluzione 6.21: u(x, y) = (2V/π) ∑ n≥1[(1 − cosnπ)/n sinh(nπb/a)] sinh(nπy/a) sin(nπx/a).Esercizio 6.22. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π}con condizioni di Dirichelet u(0, y) = 0 per ogni y ∈ [0, π], u(π, y) = V per ogni y ∈ (0, π), u(x, 0) = 0per ogni y ∈ [0, π], u(x, π) = V per ogni y ∈ (0, π). Si verifichi che la soluzione è simmetrica rispetto allaretta y = x, ovvero u(x, y) = u(y, x) per ogni (x, y) ∈ D.Soluzione 6.22:u(x, y) = (2V/π) ∑ n≥1[(1 − cosnπ)/n sinh(nπ)][sinh(ny) sin(nx) + sinh(nx) sin(ny)]Esercizio 6.23. Si risolva l’equazione (6.2) in D := [0, π] × [0, π] con condizioni u x (0, y) = u x (π, y) = 0per ogni y ∈ [0, π] e u(x, 0) = 0 e u(x, π) = f(x) per ogni x ∈ [0, π], con f di classe C ∞ (le pareti x = 0e x = π sono isolate termicamente).Soluzione 6.23: si trovau(x, y) = a 0 y/2π + ∑ n≥1a n [sinh(ny)/ sinh(nπ)] cos(nx)con a n = (2/π) ∫ πdx f(x) cos nx per ogni n = 0, 1, 2, . . . .0Esercizio 6.24. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := [0, π] × [0, b] con condizioni u y (x, 0) = 0 eu(x, b) = 0 per ogni x ∈ [0, π], u(0, y) = 0 e u(π, y) = A per ogni y ∈ (0, π).Soluzione 6.24: u(x, y) = (A/π)[x + 2 ∑ n≥1 ((−1)n /n)(cosh(ny)/ cosh(nb)) sin(nx)].Esercizio 6.25. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := [0, a]×[0, b], con a, b ∈ R ∗ +, con le seguenticondizioni al bordo:1. u x (0, y) = 0, u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 1; 2. u x (0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0, u(x, b) = 1;3. u y (x, 0) = u(x, b) = u(a, y) = 0, u(0, y) = 1; 4. u(0, y) = 1, u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 0;5. u y (x, 0) = u y (x, b) = 0, u(0, y) = u(a, y) = 1; 6. u(0, y) = u(x, 0) = 1, u x (a, y) = u y (x, b) = 0;7. u(0, y) = u(a, y) = 1, u y (x, 0) = u(x, b) = 0; 8. u(0, y) = u(x, 0) = 1, u(a, y) = u(x, b) = 0;Esercizio 6.26. i) Si determini la distribuzione stazionaria di temperatura u(x, y) nella lamina metallicaquadrata D := {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π} con condizioni al bordo⎧⎪⎨⎪⎩u(0, y) = 4y4y(y − π), u(π, y) = (π − y) ∀y ∈ [0, π]π2 π2 u(x, 0) = 0, u(x, π) = 0 ∀x ∈ [0, π]ii) Si faccia uno schizzo delle isoterme e si calcoli la temperatura sul segmento di equazione x = π/2. iii)Si risolva l’equazione∂ 2 v∂ξ 2 + ∂2 v∂η 2 = 0fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 104