Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

La scelta del segno va fatta osservado che x può essere maggiore o minore di 1. Nel primo caso va sceltoil segno + mentre nel secondo va scelto il segno −, perché il primo membro è rispettivamente positivo enegativo nei due casi. Quindi l’equazione della traiettoria diventa:⎧⎪⎨1 +x 2 =⎪⎩√y +316(y−1)se x > 1√31 − y +16(y−1)se x < 1Infine, dopo aver osservato che nelle due espressioni precedenti il membro di destra è positivo e che l’orbitagiace nel semipiano x > 0, si può scrivere l’equazione dell’orbita in forma esplicita:⎧ √ √31 + y + ⎪⎨16(y−1)se x > 1x(y) =√(2.39)√⎪⎩31 − y +16(y−1)se x < 1Il periodo dell’orbita può essere calcolato osservando che dalle equazioni (2.38) si hadydt = f dy2(x, y) ⇒4x(y)(x 2 (y) − 1)(y − 1) = dtove x = x(y) è l’equazione (2.39). Per integrare la precedente si definisce t 1 l’istante in cui l’orbitaraggiunge (x 1 , y 1 ) e si osserva che in t 1 l’espressione esplicita della funzione x(y) cambia. QuindiT =⇒ T =∫ T0∫ 1/43/4dt =√4 1 +∫ t10∫ T ∫ 1/4dt + dt =t 1 3/4dy√y +316(y−1)∫dy3/44x(y)(x 2 (y) − 1)(y − 1) +√y +316(y−1) (y − 1) −∫ 3/41/4√4 1 −1/4dy4x(y)(x 2 (y) − 1)(y − 1)dy√y +316(y−1)√3y +16(y−1)(y − 1)6. Il punto (x 0 , y 0 ) = (1, 1) si trova sul tratto y = 1 della separatrice, allora l’orbita sarà tale chey(t) = 1. Sostituendo nel sistema dinamico di partenza si ottiene ẋ = 1 − (x 2 − 1) 2 che può essereintegrata e fornisce la legge oraria. Infattidxdt = 1 − (x2 − 1) 2 ⇒ dt =⇒ t =∫ x(t)1∫dxtx 2 ( √ 2 − x)( √ 2 + x) ⇒ dt ′ =0∫ x(t){ }1dx2x 2 + 14 √ 2( √ 2 − x) + 14 √ 2( √ 2 + x)⇒ t = 1 2 + 1√2 − 14 √ 2 log √ − 12 + 1 2x(t) + + 1√2 + x(t)4 √ 2 log √2 − x(t)1dxx 2 ( √ 2 − x)( √ 2 + x)Pur non sapendo invertire la legge oraria è possibile controllare il comportamente all’infinito: bastaosservare che per x → √ 2 il tempo t tende a +∞, mentre per x → 0 si ha t → −∞.Esercizio 2.15. Per i seguenti sistemi dinamici planari si determinino i punti fissi e se ne studi la stabilità,si determini un integrale primo e si disegni il ritratto di fase:{ ẋ = 2y(x 2 − 1)(a)ẏ = 2x(2x 2 − y 2 ){ ẋ = −2x − y2(b)ẏ = −y − x 2{ ẋ = 2xy(c)ẏ = −y 2 − 3x 2 + 1Sistema (c): si determinino i dati iniziali che danno origine a orbite periodiche e si esprima come integraledefinito il periodo dell’orbita con dato iniziale (1/2, 0).fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 58