Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Dimostrazione. L’asserto è conseguenza immediata del fatto che per ogni moto in I si haL f u(ϕ(t)) = U ′ (t) per ogni t ∈ J.Proposizione 2.15 □Esempio 2.16. Si consideri un sistema meccanico conservativo unidimensionale, cioè un sistema meccanicocostituito da una particella in moto sull’asse y sulla quale agisce la forza g(y) tale che esiste unafunzione u : R → R tale che g = −du/dy. Come si è visto nell’Esempio 2.6 se la particella ha massaunitaria, questo problema può essere posto nella forma (2.6) ponendo: q = y, p = ẏ, x = (q, p) e f(x) =f(q, p) = (p, g). Si considera l’energia meccanica del sistema h : (q, p) ∈ R 2 → h(q, p) := p 2 /2 + u(q) ∈ R.Usando la definizione si dimostra immediatamente che h è un integrale primo del sistema e quindi siconserva lungo tutti i moti:L f h(q, p) = ∇h(q, p) · f(q, p) =( dudq , p )· (p, g) = (−g, p) · (p, g) = −gp + pg = 0Come si è accennato all’inizio del paragrafo gli integrali primi sono uno strumentomolto utile per capire la struttura del ritratto di fase, soprattutto nel caso di sistemidinamici bidimensionali. Si supponga, che u : I ⊂ R n → R sia un integrale primo per ilsistema dinamico (2.6). Si considera la superficie di livello Γ e := {x ∈ R n : u(x) = e}, cone ∈ R una costante reale fissata, e si osserva che in ogni punto x ∈ Γ e si ha che il vettore∇u(x) è ortogonale alla superficie, cioè è ortogonale al piano tangente alla superficie inx. Essendo u un integrale primo si ha anche che ∇u(x) · f(x) = 0 e quindi per ognipunto x appartente alla superficie di livello Γ e si ha che il vettore f(x) giace nel pianotangente alla superficie in x. Questa semplice osservazione permette di concludere chequalora esista un integrale primo, ciascuna linea di fase del sistema dinamico appartienea una determinata superficie di livello. Nel caso bidimensionale le superfici di livello sonocurve di livello e quindi il vincolo che una linea di fase debba appartenere a una superficiedi livello è molto forte.Esempio 2.17. Si considera il sistema dinamico di Lotka–Volterra introdotto nell’Esempio 2.13. Siverifica facilmente che la funzione u(x 1 , x 2 ) := α(x 1 − log x 1 ) + x 2 − log x 2 in x 1 , x 2 > 0 è un integraleprimo del sistema dinamico, infatti∇u · f =(α − α x 1, 1 − 1 x 2)· (x 1 (1 − x 2 ), αx 2 (x 1 − 1)) = α(x 1 − 1)(1 − x 2 ) + (x 2 − 1)α(x 1 − 1) = 0Per capire come sono fatte li curve di livello si deve studiare la funzione di due variabili u(x 1 , x 2 ). Inprimo luogo si osserva cheu x1 = α − α , u x2 = 1 − 1 , u x1xx 1 x1= α2 x 2 , u x2x 2= 11 x 2 , u x1x 2= 02Segue che l’unico punto di stazionarietà di u è (1, 1) e che si tratta di un minimo relativo proprio. Osservatoche u diverge positivamente quando ci si avvicina agli assi, si ha che il grafico di u ha grossomodo lastruttura di un paraboloide che si schiaccia nei pressi degli assi cartesiani. Determinare la superficie dilivello Γ e := {(x 1 , x 2 ) ∈ R ∗ + × R ∗ + : u(x 1 , x 2 ) = e vuol dire tagliare il grafico della funzione u con unpiano parallelo al piano x 1 x 2 alla quota e. Si ha, allora, che Γ e = ∅ se e < u(1, 1) = α + 1, Γ e = {(1, 1)}se e < u(1, 1), Γ e è una curva chiusa nel cui interno cade (1, 1) se e > u(1, 1); si veda la figura 2.11. Leorbite di fase con dato iniziale esterno agli assi e diverso dal punto fisso (1, 1) evolvono su una curva difismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 30