Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

del lancio, il moto risultante sarà comunque diverso dalla sperata rotazione. In questoparagrafo questo fenomeno viene spiegato sulla base del concetto di stabilità dei puntifissi di un sistema dinamico.Uno dei risultati più eleganti della meccanica razionale è costituito dalle equazioni diEulero per lo studio del moto di un corpo rigido con un punto fisso. Le stesse equazioniregolano anche il cosiddetto moto relativo al centro di massa di un corpo rigido libero,cioè regolano il moto rispetto a una terna con origine nel centro di massa del corpo rigidoe assi paralleli agli assi del riferimento fisso rispetto al quale si studia il moto. Per avereun’idea di ciò che si sta studiando si immagini di lanciare in aria un corpo rigido e di volerdescrivere il moto che esso compie rispetto a un osservatore seduto sul baricentro ma conassi costantemente orientati come quelli del riferimento fisso (le pareti del laboratorio).Detta ω la velocità angolare di questo moto, si indicano con Ω 1 , Ω 2 e Ω 3 le sue componentirispetto alla base ε 1 , ε 2 , ε 3 , individuata dagli assi centrali d’inerzia del corpo rigido e quindisolidale al corpo. Proiettando la seconda equazione cardinale dei moti rigidi sulla ternacentrale d’inerzia si ottengono le equazioni di Eulero⎧⎨⎩I 1 ˙Ω1 − (I 2 − I 3 )Ω 2 Ω 3 = M 1I 2 ˙Ω2 − (I 3 − I 1 )Ω 3 Ω 1 = M 2I 3 ˙Ω3 − (I 1 − I 2 )Ω 1 Ω 2 = M 3(2.40)dove I 3 > I 2 > I 1 > 0 sono i momenti centrali d’inerzia e M 1 , M 2 e M 3 sono le trecomponenti rispetto alla base centrale d’inerzia del momento totale della sollecitazioneagente sul corpo calcolato rispetto al baricentro. Se il momento totale della sollecitazioneagente sul corpo rigido rispetto al baricentro è nullo, allora il moto è detto alla Poinsote le equazioni di Eulero si riducono al sistema˙Ω 1 = I 2 − I 3I 1Ω 2 Ω 3 , ˙Ω2 = I 3 − I 1I 2Ω 3 Ω 1 , ˙Ω3 = I 1 − I 2I 3Ω 1 Ω 2 (2.41)si ricorda che si sta studiando il caso I i ≠ 0 per ogni i = 1, 2, 3.Il sistema di equazioni differenziali (2.41) è un sistema dinamico tridimensionale nonlineare, quindi il suo comportamento può essere studiato con i metodi discussi nei paragrafiprecedenti; è anche possibile ricondurre la soluzione del sistema (2.41) al calcolo di integraliellittici, si veda [11, Capitolo VI, § 37]. Lo spazio delle fasi è R 3 e sui suoi assi sonoriportati i valori delle componenti Ω i della velocità angolare. In particolare è interessanteindividuarne i punti fissi e studiarne la stabilità. Il campo delle direzioni è la funzionef : R 3 → R 3 definita comef(Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) :=( I2 − I 3I 1Ω 2 Ω 3 , I 3 − I 1I 2Ω 3 Ω 1 , I 1 − I 2I 3Ω 1 Ω 2)per ogni (Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) ∈ R 3 . Il sistema algebrico f(Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) = 0 che definisce i puntifissi ha infinito alla tre soluzioni costituite da tutte le terne in cui almeno due delletre componenti sono uguali a zero, cioè i punti fissi sono nella forma (a, 0, 0), (0, b, 0)e (0, 0, c) con a, b, c ∈ R arbitrario; in altre parole i punti fissi sono tutti e soli i puntifismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 60