Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

dσ per unità di tempo nel verso specificato dalla normale esterna ν(q) a ∂Ω in q è parialla massa contenuta nel cilindretto di base dσ interno a Ω e di altezza v(q, t) · ν(q).massa che attraversa l’area dσ per unitàdi tempo nel verso di ν(q)}= u(q, t)v(q, t) · ν(q)si noti al secondo membro la presenza del prodotto scalare, si ricorda, infatti, che sia v siaν sono vettori tridimensionali. Osservato che la massa totale contenuta in Ω all’istante t èuguale all’integrale della densità u(q, t) esteso al volume Ω, dal principio di conservazionedella massa segue che∫∫du(q, t) dq = − u(q, t)v(q, t) · ν(q) dσdt Ω∂Ωdove, si osserva, il primo è un integrale triplo e il secondo un integrale superficiale. Ilsegno meno è legato al fatto che come verso della normale alla superficie ∂Ω è stato sceltoquello esterno alla superficie. Applicando il teorema della divergenza al secondo membrosi ottiene∫∂uΩ ∂t∫Ω(q, t) dq = − u(q, t)v(q, t) · ν(q) dqe dall’arbitrarietà della regione Ω ⊂ G segue l’equazione di continuità (4.3).L’equazione (4.3) non è nella forma (4.2) perché in essa compaiono due funzioni: ilcampo scalare u e il campo vettoriale v. Se si suppone, però, di conoscere il campo dellevelocità, allora l’equazione di continuità diventa un’equazione differenziale alle derivateparziali del primo ordine nella funzione incognita u. In particolare nel caso di un fluidoin un tubo unidimensionale parallelo all’asse x l’equazione si riduce a∂u ∂(x, t) + [u(x, t)v(x, t)] = 0 (4.4)∂t ∂xdove v è un campo scalare assegnato.È lecito aspettarsi che le equazioni differenziali alle derivate parziali, così come quelleordinarie, ammettano più di una soluzione, per esempio è immediato verificare che la (4.4)ammette le infinito alla uno soluzioni costanti u(q, t) = costante. Dal punto di vista fisicoè importante capire quali siano le condizioni che bisogna imporre alla soluzione affinchéil problema ammetta una soluzione unica; nel caso delle equazioni ordinarie di ordine nsi deve considerare un problema di Cauchy fissando il valore della soluzione e delle sueprime n − 1 derivate in un istante. Nel caso dell’equazione di continuità unidimensionaleè sperabile che l’equazione ammetta una soluzione unica una volta assegnato il profilo didensità all’istante iniziale; in altri termini si vorrebbe dimostrare un teorema che assicuril’esistenza e l’unicità della soluzione dell’equazione di continuità (4.4) soddisfacente allacondizione iniziale u(x, 0) = u 0 (x), per ogni x ∈ R, dove u 0 è una funzione reale assegnatache rappresenta la distribuzione della massa nel tubo all’istante iniziale.Il problema può essere letto in un modo diverso e molto istruttivo: si vuole determinarela funzione u soluzione dell’equazione differenziale (4.3) nel piano qt avendo assegnato ilfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 86