Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

livello chiusa, questa osservazione permette di concludere che il punto fisso (1, 1) è stabile e che si trattadi un centro. È abbastanza ragionevole attendersi che una linea di fase con dato iniziale su una curvadi livello chiusa percorra l’intera curva di livello in tempo finito, infatti la curva di livello non passa perpunti critici; quindi i moti che giacciono sulle curve di livello chiuse sono periodici. Nel caso di Lotka–Volterra la stima del tempo di percorrenza non è molto facile perché non è possibile risolvere l’equazioneche definisce le curve di livello rispetto a una delle due variabili; quando ciò è possibile allora i tempidi percorrenza lungo archi di linea di fase possono essere ricondotti al calcolo di un integrale definito (siveda l’Esempio 2.19).x 2✻x 2✻✛❄❄✲✲✻✲x 1❄✲✲x 1Fig. 2.11. A sinistra: il campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistema dinamicodell’Esempio 2.13. A destra: il ritratto di fase con le linee di fase chiuse percorse in verso antiorario.Nell’Esempio 2.17 è stata usato l’integrale primo del sistema dinamico di Lotka–Volterra per determinare la struttura del ritratto di fase; ci si è limitati a verificare cheuna funzione u, indovinata chissa come, fosse un integrale primo. Sarebbe utile sviluppareun metodo che permettesse di costruire gli integrali primi a partire dalla conoscenza delcampo vettoriale del sistema dinamico. Questo problema è tutt’altro che banale. Ricordandola definizione di integrale primo si ha che u è un integrale primo per il sistemadinamico ẋ = f(x) se e solo se in ogni punto x dell’aperto connesso I in cui il campo delledirezioni è di Lipschitz si ha ∇u(x) · f(x) = 0, ovverof 1 (x 1 , . . . , x n ) ∂u∂x 1(x 1 , . . . , x n ) + · · · + f n (x 1 , . . . , x n ) ∂u∂x n(x 1 , . . . , x n ) = 0 (2.13)In altri termini per determinare un integrale primo si deve risolvere un’equazione differenzialedel primo ordine alle derivate parziali in dimensione n.In dimensione n arbitraria il problema è difficile, ma in dimensione due, cioè nel casodei sistemi dinamici planari, il problema può essere affrontato in modo sistematico. Ilvettore normale alla curva di livello ∇u(x 1 , x 2 ) è ortogonale in ogni punto al vettoref(x 1 , x 2 ), quindi esiste una funzione incognita µ : (x 1 , x 2 ) ∈ I → µ(x 1 , x 2 ) ∈ R definitasu tutto l’aperto I tale che per ogni (x 1 , x 2 ) ∈ I si abbia ∇u(x 1 , x 2 ) = µ(x 1 , x 2 ) ν(x 1 , x 2 )dove ν(x 1 , x 2 ) = (f 2 (x 1 , x 2 ), −f 1 (x 1 , x 2 )) è un campo vettoriale in ogni punto ortogonaleal campo delle direzioni f; in modo più esplicito si ha∂u∂x 1(x 1 , x 2 ) = µ(x 1 , x 2 )ν 1 (x 1 , x 2 )e∂u∂x 2(x 1 , x 2 ) = µ(x 1 , x 2 )ν 2 (x 1 , x 2 ) (2.14)In conclusione al fine di determinare un integrale primo di un sistema dinamico planareci si deve chiedere se esiste una funzione µ : (x 1 , x 2 ) ∈ I → µ(x 1 , x 2 ) ∈ R, detta fattorefismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 31