Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

1.5. Esistenza e unicitàNei paragrafi precedenti è stato già osservato che la costruzione grafica usata per studiareil comportamento del sistema dinamico (1.5) si basa su alcune proprietà fondamentalidella soluzione del problema di Cauchy che valgono sotto opportune ipotesi di regolaritàsul campo delle direzioni. Alla base della teoria vi è la condizione di Lipschitz che verràintrodotta nel seguito. Lo scopo di questo paragrafo è quello di stabilire i risultati fondamentalie di mostrare come la condizione di Lipschitz emerga in modo naturale. Ledimostrazioni verranno condotte sfruttando la specificità del caso unidimensionale, cioèriconducendo la soluzione delle equazioni differenziali al calcolo di un integrale definito;questa strategia, ovviamente, non ha alcuna possibilità di successo in dimensione maggioreo uguale a due. I risultati fondamentali che permettono la costruzione grafica discussa inprecedenza sono essenzialmente tre:– esistenza della soluzione del problema di Cauchy: questa proprietà permette ditracciare la linea di fase uscente da un punto dello spazio delle fasi esteso. Essaverrà dimostrata sulla base della sola ipotesi di continuità del campo delle direzionif.– Unicità della soluzione del problema di Cauchy: questa proprietà permette di affermarecha da ogni punto dello spazio delle fasi esteso emerge una e una sola lineadi fase. Essa verrà dimostrata sulla base della solo ipotesi di continuità del campodelle direzioni f per dati iniziali non critici, mentre per dati iniziali corrispondentia un punto critico sarà necessario ricorrere a ipotesi più restrittive su f e introdurrela condizione di Lipschitz.– Continuità della soluzione rispetto alle condizioni iniziali: questa proprietà permettedi tracciare le linee di fase emergenti da punti vicini dello spazio delle fasi abbastanzavicine tra loro almeno per piccoli intervalli di tempi. Essa non verrà discussa indettaglio in queste note e si rimanda lo studente a testi (veri) sulla teoria delleequazioni differenziali.Teorema 1.15 Si consideri il sistema dinamico (1.5) con f : I → R una funzione continuasull’intervallo aperto I ⊂ R e i due numeri reali t 0 ∈ R e x 0 ∈ I. Il problemadi Cauchy associato a (1.5) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 ammette almeno una soluzionelocale, cioè esiste un intorno J di t 0 e una funzione ϕ : J → R soluzione del problema diCauchy considerato.Dimostrazione. Sia f(x 0 ) = 0, la funzione ϕ : t ∈ R → ϕ(t) = x 0 è una soluzione globaledel problema di Cauchy.Sia f(x 0 ) ≠ 0: per la continuità di f esiste un intorno I ′ ⊂ I di x 0 in cui f è diversada zero. Allora per ogni x ∈ I ′ si può esprimere il tempo t impiegato dalla soluzione pergiungere in x come∫ xdyf(y) = t − t 0x 0fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 12