Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

in quel punto, infatti considerata la curva di fase ϕ : t ∈ J ⊂ R → ϕ(t) ∈ I ⊂ R n ilvettore ¯T tangente alla curva nel punto ϕ(¯t) raggiunto dalla curva all’istante ¯t è dato da¯T := ( ˙ϕ 1 (¯t), . . . , ˙ϕ n (¯t) ) = ( f 1 (ϕ(¯t)), . . . , f n (ϕ n (¯t)) )dove, si ricorda, f i sono le funzioni componenti del campo vettoriale f e dove nell’ultimopassaggio si è usato che ϕ è una soluzione del sistema dinamico (2.6). L’insieme di tuttele possibili orbite di fase di un sistema dinamico è detto ritratto di fase del sistemadinamico.Se è nota la curva integrale si sa tutto dell’evoluzione del sistema, in particolare siconoscono i diversi punti dello spazio delle fasi visitati durante l’evoluzione, cioè l’orbitadi fase, e la legge temporale con cui i diversi punti sono raggiunti. È importante osservare,però, che la conoscenza della sola orbita di fase fornisce i punti che il sistema visita durantela sua evoluzione ma non da alcuna informazione sulla legge temporale. Per esempio sedi un sistema dinamico bidimensionale si sapesse che l’orbita di fase uscente dal punto(0, 1) è la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, allora si conoscerebbero tutti i puntivisitati dal sistema durante la sua evoluzione, in particolare si sarebbe a conoscenza delfatto che a un certo istante il sistema occupa la posizione (1, 0), ma non si avrebbe alcunaidea dell’istante in cui il sistema raggiunge il punto (1, 0).In analogia con i risultati discussi nel caso unidimensionale, è evidente che giocano unruolo chiave nello studio dei sistemi dinamici quei punti in cui il campo delle direzionisi annulla: si dice che x e ∈ I è un punto fisso o di equilibrio o critico per il sistemadinamico (2.6) se e solo se f(x e ) = 0. Vale la seguente importante proprietà.Proposizione 2.5 Si consideri il sistema dinamico (2.6), sia x e ∈ I tale che f(x e ) = 0.Allora preso t 0 ∈ R, il problema di Cauchy relativo a (2.6) con dato iniziale x(t 0 ) = x eammette l’unica soluzione ϕ : t ∈ R → ϕ(t) = x e ∈ R n .Dimostrazione. Si procede come nel caso della dimostrazione del relativo risultato unidimenzionale;si veda la Proposizione 1.9.Proposizione 2.5 □In virtù della proposizione precedente se il sistema dinamico viene preparato in unpunto fisso vi rimarrà durante tutta la sua evoluzione; ma se la condizione iniziale vienescelta non critica ma vicina a un punto fisso, allora il sistema può evolvere mantenendosivicino al punto fisso o allontanandosene inesorabilmente. Per distinguere tra questi diversicomportamenti si introduce la nozione di stabilità. Si danno le seguenti definizioni: siax e ∈ I un punto fisso del sistema dinamico (2.6), si dice che x e è– stabile (o stabile secondo Liapunov) se e solo se comunque si scelga un numeroreale positivo ε > 0 esiste δ = δ(ε) > 0 tale che B δ (x e ) ⊂ I e per ogni x 0 ∈ B δ (x e )la soluzione ϕ : [t 0 , +∞) ⊂ R → ϕ(t) ∈ R n del problema di Cauchy associato alsistema dinamico (2.6) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 , con t 0 ∈ R arbitrario, è tale cheper ogni t ≥ t 0 si ha ϕ(t) ∈ B ε (x e );fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 22