Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

sferico (aperto) I ′ di x e di Liapunov per x e . Si suppone, inoltre, che esiste un insiemecompatto C ⊂ I ′ tale che x e ∈ C, C è positivamente invariante e in C \ {x e } non esistonotraiettorie lungo cui w è costante a eccezione del punto critico x e . Allora il punto fisso x eè asintoticamente stabile e il suo bacino d’attrazione contiene C.Prima di dimostrare il teorema di Barbasin è utile discutere in modo molto sinteticol’applicazione al problema del pendolo dissipativo introdotto nell’Esempio 2.35; per unadiscussione più dettagliata si rimanda all’Esercizio 2.13. Si considera le funzione di Liapunovw(q, p) = p 2 /2−ω 2 cos q+ω 2 ; è facile vedere che la sua curva di livello w(q, p) = 2ω 2è chiusa e contiene l’origine. Inoltre in ogni suo punto il campo delle direzioni f puntaverso l’interno della regione C delimitata dalla curva di livello stessa. Se si osserva, infine,che gli unici punti di C in cui si abbia L f w = 0 sono quelli che giacciono sull’asse q eche in tali punti il campo delle direzioni è parallelo all’asse p, si conclude, in virtù delTeorema 2.36 che l’origine è un punto fisso asintoticamente stabile e che la regione C ècontenuta nel bacino d’attrazione, quindi ne costituisce una stima.Prima di dimostrare il Teorema 2.36 è necessario introdurre il concetto di insiemelimite. Si considera il sistema dinamico (2.6) con f di Lipschitz su I ⊂ R n , sia x ∈ I esia ϕ : R → R n l’unica soluzione del problema di Cauchy associato al sistema dinamico(2.6) con dato iniziale ϕ(t 0 ) = x. Si dice insieme ω–limite di x l’insieme ω(x) ⊂ R ncostituito da tutti i punti y ∈ R n tali che esiste una succesione monotona crescentet 0 ≤ t 1 ≤ · · · ≤ t k ≤ · · · divergente positivamente tale che lim k→+∞ |ϕ(t k ) − y| = 0.Si dice insieme α–limite di x l’insieme α(x) ⊂ R n costituito da tutti i punti y ∈ R ntali che esiste una succesione monotona decrescente t 0 ≥ t 1 ≥ · · · ≥ t k ≥ · · · divergentenegativamente tale che lim k→+∞ |ϕ(t k ) − y| = 0.È immediato osservare che un punto fisso asintoticamente stabile è l’insieme ω–limitedi ciascun punto del suo bacino d’attrazione; se si considera, invece, una linea di faselungo cui si svolge un moto periodico passante per un punto x ∈ R n , allora l’insieme ω(x)è costituito dall’intera linea di fase. Per ulteriori esempi meno ovvi di insiemi limite sirimanda al paragrafo ??.Dimostrazione del Teorema 2.36. Sia x ∈ C e sia ϕ : [t 0 , +∞) → R n la soluzione delproblema di Cauchy associato al sistema dinamico (2.6) con dato iniziale ϕ(t 0 ) = x.In primo luogo si dimostra che l’insieme ω–limite di x è non vuoto ed è contenuto inC. Dal momento che C è positivamente invariante, si ha che ϕ(t) ∈ C per ogni t ≥ t 0 ;allora data una successione monotona crescente {t k } divergente positivamente si ha cheϕ(t k ) ∈ C per ogni k ∈ N. Ricordando che C è compatto si conclude che esiste unasottosuccessione t ks estratta da t k tale che ϕ(t ks ) converge a un punto di C. Si può quindiconludere cheω(x) ≠ ∅ e ω(x) ⊂ C (2.30)Si osserva, ora, che ϕ(t) ∈ C per ogni t ≥ t 0 e L f w(y) ≤ 0 per ogni y ∈ C si ha chew(ϕ(t)) è una funzione monotona del tempo e quindi esiste il limitew x := lim w(ϕ(t)) (2.31)t→+∞fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 48