Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

dimostrare che il tempo t 1 − t 0 che il sistema dinamico impiega per giungere nel puntofisso ϕ(t 1 ) è infinito e cioè costituisce un assurdo.Si pone x 1 := ϕ(t 1 ) e, per fissare le idee, si suppone x 0 < x 1 ; la dimostrazione procederebbein modo analogo nel caso complementare. Si scelga x 2 ∈ (x 0 , x 1 ); dalla derivabilitàdi ϕ e dal fatto che ˙ϕ(t) = f(ϕ(t)) ≠ 0 per ogni t ∈ [t 0 , t 1 ), segue che ˙ϕ ha segnocostante in [t 0 , t 1 ) e quindi ϕ è invertibile nel medesimo intervallo. Allora esiste un unicot 2 ∈ (t 0 , t 1 ) tale che ϕ(t 2 ) = x 2 . Ora∫ t2˙ϕ(t) = f(ϕ(t)) e f(ϕ(t)) ≠ 0 ∀t ∈ [t 0 , t 1 )⇒Passando al limite per t 2 → t 1 si ha∫ ϕ(t2 )t 1 − t 0 = limt 2 →t 1 x 0t 0˙ϕ(t)f(ϕ(t)) dt = ∫ t2∫dxx2f(x) = limx 2 →x 1 x 0∫ ϕ(t2 )dt⇒t 0dxf(x)x 0dxf(x) = t 2 − t 0L’assurdo deriva dal fatto che, sulla base della condizione di Lipschitz, l’ultimo integrale,che rappresenta il tempo necessario per giungere in un punto fisso a partire da uno nonfisso, è divergente; infatti preso x ∈ [x 0 , x 1 ] si ha|f(x)| = |f(x) − f(x 1 )| ≤ L|x − x 1 | ⇒ f(x) ≤ L(x 1 − x)dove nell’ultimo passaggio si è usato che come conseguenza dell’ipotesi di lavoro x 1 > x 0 ,si ha che f(x) è positiva nell’intervallo [x 0 , x 1 ); ovviamente nel caso complementare siragiona in modo analogo. In conclusione∫ x2t 1 − t 0 = limx 2 →x 1 x 0∫dxx2f(x) ≥ limx 2 →x 1 x 0dxL(x 1 − x) = +∞Lemma 1.22 □Teorema 1.23 (secondo sull’unicità) Si consideri il sistema dinamico (1.5) con f : I →R continua sull’intervallo aperto I ⊂ R e i due numeri reali t 0 ∈ R e x 0 ∈ I. Se f è diLipschitz su I allora il problema di Cauchy associato a (1.5) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0ammette una soluzione locale unica.Dimostrazione. Il teorema segue immediatamente dal Teorema 1.17 e dal Lemma 1.22.Teorema 1.17 □Esercizio 1.17. Si consideri il sistema dinamico (1.5) con campo delle direzioni f(x) = 0 per x ≤ 0 ef(x) = sin x per x ≥ 0. Si dimostri che f è di Lipschitz in ciascun aperto sottoinsieme di R e si disegniil ritratto di fase del sistema dinamico discutendo la stabilità dei punti critici.Esercizio 1.18. Si consideri il sistema dinamico (1.5) con campo delle direzioni f(x) = 0 per x ≤ 0 ef(x) = x sin x per x ≥ 0. Si dimostri che f è di Lipschitz in ciascun aperto sottoinsieme di R e si disegniil ritratto di fase del sistema dinamico discutendo la stabilità dei punti critici.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 17