Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

assunto nel minimo, cioè a zero. Il problema verrà risolto usando due diverse strategie:la prima sarà uno calcolo molto grossolano e per nulla rigoroso che farà uso della formaesplicita di u, il secondo approccio, invece, sarà un risultato generale e rigoroso contenutonel Teorema 3.3.Sia ε > 0 piccolo, in particolare sia ε < u 4 , per determinare i punti di inversione delmoto periodico attorno al punto di equilibrio q 1 = −2 si cerca una soluzione dell’equazioneu(q) = ε nella forma q = −2 + δ:√ εu(−2 + δ) = ε ⇒ [(−2 + δ) 2 − 1](−2 + δ + 2) 2 = ε ⇒ δ 4 − 4δ 3 + 3δ 2 = ε ⇒ δ = ±3dove sono stati trascurati brutalmente tutti gli ordini superiori al secondo in δ. Alloraper determinare il semiperiodo dell’orbita si deve integrare tra −2 − √ ε/3 e −2 + √ ε/3,quindi il periodo è dato da∫ −2+√ε/3T = 2 √ −2− ε/3∫√dq−2+ ε/3√2[ε − (q2 − 1)(q + 2) 2 ] ≈ 2−2− √ ε/3dq√2[ε − 3(q + 2)2 ]dove l’energia potenziale è stata sviluppata al secondo ordine in serie di Taylor; si notiche u(−2) = u ′ (−2) = 0 e u ′′ (−2) = 6. Eseguendo la sostituzione r = (q + 2)/ √ ε/3 siottiene∫ +1T ≈ 2−1√ε/3 dr√2(ε − εr2 ) = 2 √6∫ +1−1dr√1 − r2 = 2∣√ arcsin r6∣ +1−1= 2π √6È interessante osservare che per piccoli valori di ε il periodo risulta indipendente da ε euguale a 2π/ √ u ′′ (−2). Questo risultato, che appare abbastanza casuale, nasconde inveceuna verità generale.Teorema 3.3 Si consideri il sistema meccanico unidimensionale (3.1); si supponga cheil sistema sia conservativo e che la sua energia potenziale sia u ∈ C 2 (R). Sia x e ∈ R;se x e è un punto di minimo relativo proprio per la funzione energia potenziale u e inoltreu ′′ (x e ) > 0, allora esiste ε 0 > 0 tale che per ogni ε ∈ (0, ε 0 ) in corrispondenza dell’energiau(x e ) + ε esiste un moto periodico attorno al punto fisso e, detto T (ε) il suo periodo, sihalim T (ε) =ε→0+2π√u′′(x e )(3.5)Il valore limite di T (ε) è detto periodo delle piccole oscillazioni attorno al punto di equilibriostabile x e .Dimostrazione. Si segue l’argomento proposto in [12] che usa soltanto due stime, unadall’alto e una dal basso del periodo del moto, e il cosiddetto teorema dei carabinieri.Senza perdita di generalità si può supporre x e = 0 e u(x e ) = 0. Per ε > 0 sufficientementepiccolo esistono due punti x − (ε) < 0 < x + (ε) tali che u(x − (ε)) = u(x + (ε)) = 0 (qualora vifismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 73