Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

mentre nel caso 0 ≤ t ≤ a/c si ha⎧0 −∞ < x < −ct − a⎪⎨ h[a 2 − (x + ct) 2 ]/(2a 2 ) −ct − a ≤ x < ct − au(x, t) = h[1 − (x 2 + c 2 t 2 )/a 2 ] ct − a ≤ x < −ct + ah[a⎪⎩2 − (x − ct) 2 ]/(2a 2 ) −ct + a ≤ x < ct + a0 ct + a ≤ x < +∞Esercizio 6.38. La corda illimitata è eccitata dalla condizione iniziale u 0 (x) in figura e v 0 (x) = 0. Lecostanti reali α 1 , β 1 , α 2 , β 2 , h 1 , h 2 sono positive.✁ ✁❆ ❆h 2u 0✻h 1✄ ✄✄✄❈ ❈❈❈✲α 1 β 1 α 2 β 2 xSi determini in quale punto e in quale istante la deviazionedella corda risulta massima. Si determini il valoremassimo della deviazione.Soluzione 6.38: deviazione massima (h 1 + h 2 )/2, all’istante t = [α 2 − α 1 + β 2 − β 1 ]/(4c) e alla posizionex = [α 2 + α 1 + β 2 + β 1 ]/4.Esercizio 6.39. Al segmento −a ≤ x ≤ +a, con a ∈ R ∗ +, di una corda illimitata con profilo inizialeu 0 (x) = 0 è trasmessa la velocità costante v 0 . All’esterno di tale segmento la velocità iniziale è nulla.Si determini il profilo della corda all’istante t ≥ 0 e si disegni tale profilo agli istanti t k = ka/(4c) conk = 0, 2, 4, 6.Esercizio 6.40. All’istante iniziale una corda illimitata riceve nel punto x = 0 un colpo trasversale chele trasmette impulso I. Si giustifiche la scelta v 0 (x) = (I/ϱ)δ(x), ove ϱ è la densità di massa della corda,e si determini il profilo della corda all’istante t ≥ 0 supponendo u 0 (x) = 0 per ogni x ∈ R.Soluzione 6.40: fisso t ≥ 0, u(x, t) = I/(2ϱc) per le ascisse x tali che −ct < x < ct e u(x, t) = 0 zeroaltrove.Esercizio 6.41. Si risolva il problema di Cauchy u(x, 0) = u 0 (x) e u t (x, o) = v 0 (x) per la seguenteequazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine quasilineare:β ∂2 u∂x 2 + α ∂2 u∂t∂x + ∂2 u∂t 2 = 0con α = 2V , β = V 2 − gτ/ϱ e le costanti V, ϱ, g, τ ∈ R ∗ +.Soluzione 6.41: posto λ 1 = −β/[V + √ gτ/ϱ] e λ 2 = −β/[V − √ gτ/ϱ] si hau(x, t) = 1 2c [λ 1u 0 (x + λ 1 t) − λ 2 u 0 (x + λ 2 t)] + 1 2c∫ x+λ2tx+λ 1tv 0 (s) dsEsercizio 6.42. La corda semi–illimitata fissata nell’origine è eccitata dalla condizione iniziale u 0 (x) infigura e v 0 (x) = 0. Le costanti reali h e a sono positive.u 0✻hSi disegni il profilo ottenuto come unica soluzione deldel problema di Cauchy agli istanti di tempo✁ ✁✁✁❆ ❆❆❆a 3a✲xt 1 = a c , t 2 = 3a2c , t 3 = 2a cet 4 = 7a2cfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 108