Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

e dall’arbitrarietà della regione Ω ⊂ G segue l’equazione di continuità per l’energia termica:∂ε(q, t) + div j(q, t) = 0 (4.7)∂tL’equazione precedente non costituisce un problema chiuso perché vi compaiono duefunzioni incognite, il campo scalare ε e il campo vettoriale j. È possibile, però, ricondurreil problema all’equazione (4.6) nella sola funzione incognita u, la distribuzione ditemperatura, usando la relazione termodinamica ε(q, t) = cϱu(q, t), con c e ϱ il calorespecifico e la densità di massa del corpo, e la legge di Fourier per la conduzione del calorej(q, t) = −k∇u(q, t), dove k è la conducibilità termica del solido. Si ha, infatti,∂ε(q, t) + div j(q, t) = 0 ⇒ cϱ∂u(q, t) − k div[∇u(q, t)] = 0∂t ∂tda cui si ottiene l’equazione del calore (4.6) ricordando che per quasiasi funzione scalaref sufficientemente regolare si ha div[∇f] = ∆f.Come si è già visto nel paragrafo 4.1 dal punto di vista fisico è importante capirequali siano le condizioni che bisogna imporre alla soluzione affinché il problema ammettauna soluzione unica. Nel caso dell’equazione del calore (4.6) è sperabile che l’equazioneammetta una soluzione unica una volta assegnata in ogni istante t ≥ 0 la temperatura sullasuperficie del solido e la temperatura iniziale, cioè a t = 0, in ogni punto del solido. In altritermini si vorrebbe l’esistenza e l’unicità della soluzione dell’equazione (4.6) soddisfacentealla condizione iniziale u(q, 0) = u 0 (q) per ogni q ∈ G, dove u 0 è una funzione realeassegnata che rappresenta la distribuzione della temperatura all’istante iniziale, e allacondizione al bordo u(q, t) = u 1 (q, t) per ogni q ∈ ∂G e per ogni t ≥ 0, dove u 1 è unafunzione reale assegnata.Nel caso di una sbarra il problema diventa unidimensionale nella variabile spazialex ∈ R e la regione G occupata dal corpo diventa un intervallo I = [a, b] dell’asse x. Allorail problema si riduce alla determinazione della soluzione dell’equazionek ∂u ∂u(x, t) = (x, t) (4.8)cϱ ∂x ∂tnella regione D := {(x, t) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b e t ≥ 0} tale che u(x, 0) = u 0 (x) per ognix ∈ [a, b], u(a, t) = u 1,a (t) per ogni t ≥ 0 e u(b, t) = u 1,b (t) per ogni t ≥ 0, dove le funzionireali u 0 , u 1,a e u 1,b sono assegnate.Visto sotto questa luce il problema è quello della determinazione della soluzione diuna equazione differenziale alle derivate parziali in una regione chiusa D del piano noto ilvalore che la funzione assume sulla frontiera di D; questo tipo di problema è noto comeproblema di Dirichelet. Dal punto di vista fisico è naturale anche chiedersi se esisteuna soluzione unica assegnando la temperatura iniziale in G e sul bordo il valore in ogniistante della derivata calcolata lungo la direzione ortogonale al bordo stesso; questo tipodi condizione al bordo è nota come condizione di Neumann. In questo caso per ilprblema della sbarra si dovrebbe determinare la soluzione dell’equazione del calore neldominio D := {(x, t) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b e t ≥ 0} tale che u(x, 0) = u 0 (x) per ognifismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 88