Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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visto negli Esempi 2.7–2.9 è possibile verificare le conclusioni euristiche sul ritratto di fase integrandoesplicitamente il sistema dinamico; si veda anche l’Esercizio 2.2.x 2✻x 2✻✠✛❅■❄✻❅❘✲✒✲x 1✛✠■❄❘✻✒✲✲x 1Fig. 2.8. A sinistra il campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistema dinamicodell’Esempio 2.10, a destra l’andamento qualitativo delle linee di fase.Esempio 2.11. È interessante ripetere lo studio qualitativo svolto negli Esempi 2.7–2.10 per il sistemadinamico {ẋ1 = −x 1ẋ 2 = kx 2(2.9)In particolare va osservato che nel caso k < 0 l’origine risulta un punto fisso con la struttura di nodostabile.Esempio 2.12. Si consideri il moto di una particella di massa uno sull’asse y sottoposta all’azione diuna forza di richiamo lineare (oscillatore armonico unidimensionale). L’equazione del moto è ÿ + y = 0;procedendo come nell’Esempio 2.1 il problema viene ricondotto allo studio del sitema dinamico (2.6) conx = (q, p), q = y, p = ẏ e f(x) = f(q, p) = (p, −q)Si vede subito, risolvendo f(q, p) = 0, che l’unico punto fisso è l’origine (q, p) = (0, 0), cioè l’unico puntodi equilibrio per l’oscillatore armonico è il punto corrispondente all’oscillatore posto con velocità nulla(p = 0) nel punto in cui la molla è a riposo (q = 0). Per capire la struttura del ritratto di fase si provaa disegnare in qualche punto il campo delle direzioni, ma come si vede dalla figura 2.9 l’analisi non èconclusiva perché il campo direzioni disegnato nel grafico a sinistra è compatibile con tutti i ritratti difase riportati nei diagrammi restanti; anche se un’attenta analisi delle lunghezze dei vettori tangenti tendea far preferire l’ultimo diagramma. In questo caso molto semplice è possibile stabilire la struttura delritratto di fase integrando il sistema dinamico:¨q = ṗ = −q ⇒ ¨q + q = 0 ⇒{ q(t) = A sin(t + φ)p(t) = A cos(t + φ)⇒{ q(t) = q0 cos tp(t) = −q 0 sin tdove nell’ultimo passaggio è stata imposta la condizione iniziale (q(0), p(0)) = (q 0 , 0). Dalla soluzioneesplicita segue che l’orbita di fase è una circonferenza percorsa in verso orario, quindi il ritratto di faseè costituito dal punto fisso e da una sequenza di criconferenze concentriche percorse in verso orario, cioècorrisponde al grafico riportato nel diagramma di destra in figura 2.9. Si può quindi concludere che ilpunto fisso è stabile. Punti fissi con ritratto di fase di questo tipo sono detti centri; nel caso particolarele curve chiuse che circondano il punto fisso stabile sono circonferenze, in generale queste curve chiusepossono essere di altra natura, in ogni caso il punto fisso verrà detto centro.È interessante studiare anche il caso in cui la forza lineare agente sulla particella sia repulsiva; si vedal’Esercizio 2.4.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 26
x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄✲x1✻✲x 2✲x 1✲✻x 2✲x 1x 2✻✗✔ ✲✻✻x✖✕ 1x 2✻✬✩✲✓✏ ✲ ✲✒✑ x 1✫✪Fig. 2.9. A sinistra il campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistema dinamicodell’Esempio 2.12, negli altri grafici sono riportati i possibili scenari con il campo delle direzioni disegnatoa sinistra.Esempio 2.13. Le equazioni di Lotka–Volterra, ovvero il sistema preda–predatore. Le equazioni diLotka–Volterra descrivono l’evoluzione di un sistema costituito da due specie animali: le prede e i predatori;le equazioni furono introdotte dal matematico Volterra nel 1926 per studiare l’evoluzione di duespecie di pesci nel mare Adriatico. Si denota con x 1 (t) ≥ 0 il numero di prede e con x 2 (t) ≥ 0 il numerodi predatori all’istante t e si assume che– in assenza di predatori la popolazione delle prede evolve secondo la legge di Malthus;– le prede costituiscono l’unico alimento dei predatori;– a ogni incontro il predatore mangia la preda e il numero di incontri in un piccolo intervallo di tempo[t, t + ∆t] è proporzionale al prodotto x 1 (t)x 2 (t) del numero di prede per il numero di predatoriall’istante t e all’ampiezza dell’intervallo ∆t considerato;– in assenza di prede i predatori muoiono con tasso lineare.Sulla base di queste ipotesi si ha chex 1 (t + ∆t) − x 1 (t) = ax 1 (t)∆t − bx 1 (t)x 2 (t)∆t e x 2 (t + ∆t) − x 2 (t) = cx 1 (t)x 2 (t)∆t − dx 2 (t)∆tdove a, b, c, d sono costanti reali positive. Passando al limite per ∆t → 0 e normalizzando opportunamentele costanti si ottiene il sistema dinamico{ẋ1 = x 1 (1 − x 2 )(2.10)x˙2 = αx 2 (x 1 − 1)dove α > 0. In definitiva il sistema preda–predatore è stato scritto come un sistema dinamico (2.6) conspazio delle fasi il quadrante x 1 , x 2 ≥ 0 e campo delle direzioni f(x 1 , x 2 ) = (x 1 (1 − x 2 ), αx 2 (x 1 − 1)).Risolvendo l’equazione f(x 1 , x 2 ) = (0, 0) si ottengono i due punti fissi (0, 0) e (1, 1). Per fare unoschizzo del ritratto di fase si procede come al solito e si disegna il campo vettoriale in qualche puntodel piano delle fasi, si veda la figura 2.10. In questo caso non è possibile intuire il comportamento dellelinee di fase, perché attorno al punto fisso (1, 1) ci si trova di fronte ai quattro possibili comportamentidescritti nella figura 2.9 relativa al problema dell’oscillatore armonico. Per quanto riguarda la stabilitàdei punti fissi, si può senza dubbio dire che (0, 0) è instabile, infatti se il sistema viene preparato in unostato iniziale con x 1 = 0 e x 2 > 0, l’evoluzione tenderà a far allontanare il sistema dall’origine lungo l’assex 1 (le prede presenti all’inizio si riproducono e la popolazione cresce con legge di Malthus). Per quantoriguarda il punto fisso (1, 1) non si può dire nulla.In conclusione questo esempio mostra che per poter determinare il ritratto di fase di un sistemadinamico in dimensione maggiore o uguale a due non è sufficiente lo studio del campo delle direzionif, come accadeva nel caso unidimensionale, è necessario quindi introdurre strumenti più raffinati e piùpotenti; in questo senso sarà di grande importanza la nozione di integrale primo (si veda il paragrafo 2.4).fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 27
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x ∈ [a, b], u x (a, t) = u 1,a (t
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nella regione√2E := {(ξ, η) ∈
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