Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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x 2✻✛❄❄✲✲✻✲x 1Fig. 2.10. Rappresentazione del campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistemadinamico dell’Esempio 2.13.Esercizio 2.1. Si determini il ritratto di fase del sistema dinamico (2.8) nel caso k = 1/2, in particolaresi mostri che l’unico punto fisso ha la struttura di nodo instabile e si verifichino le conclusioni ottenutegraficamente determinando la soluzione esplicita del sistema dinamico.Esercizio 2.2. Si integri il sistema dinamico (2.8) nel caso k = −1 e si verifichino tutte le conclusionirelative al ritratto di fase contenute nell’Esempio 2.10.Esercizio 2.3. Si studi il sistema dinamico proposto nell’Esempio 2.11.Esercizio 2.4. Si studi il sistema dinamico, proposto alla fine dell’Esempio 2.12, associato al problemadel moto unidimensionale di una particella sottoposto all’azione di una forza lineare repulsiva. Si mostriche l’unico punto fisso ha la struttura di sella con asintoti la prima e la seconda bisettrice.Esercizio 2.5. Si consideri il sistema dinamico di Lotka–Volterra (2.10) e, aiutandosi con la discussionecontenuta nell’Esempio 2.13, si determini la soluzione del problema di Cauchy nel caso di dati inizialescelti sugli assi cartesiani.2.4. Integrali primiGli integrali primi sono uno strumento molto utile per determinare la struttura del ritrattodi fase; il loro analogo nel contesto dei sistemi meccanici sono le costanti del moto.Si consideri una funzione u : I ⊂ R n → R differenzialbile sull’aperto connesso I ⊂ R n ,v = (v 1 , . . . , v n ) ∈ R n un vettore assegnato e ¯x ∈ I un punto di I fissato. Si definisce laderivata di u in ¯x lungo la direzione vL v u(¯x) := ∇u(¯x) · v =n∑i=1∂u∂x i(¯x)v i (2.11)Il nome è giustificato dal fatto che presa una qualsiasi curva regolare ϕ : J ⊂ R → I dicodominio contenuto in I passante per ¯x e tangente a v in ¯x, cioè tale che esiste ¯t ∈ Jtale che ϕ(¯t) = ¯x e ˙ϕ(¯t) = v, si had∣dt u(ϕ(t)) =∣∣t=¯td dt u(ϕ ∣1(t), . . . , ϕ n (t))∣t=¯t=n∑i=1∂u∂x i(ϕ(¯t)) dϕ idt (¯t) =n∑i=1∂u∂x i(¯x)v i = L v u(¯x)Esempio 2.14. Si considera u(x 1 , x 2 ) = x 2 1 + x 2 2, il paraboloide di vertice nell’origine e concavità versol’alto, e il vettore v = (cos α, sin α) che forma l’angolo α ∈ [0, 2π) con l’asse x 1 . AlloraL v u(¯x) = ∇u(¯x) · v = 2¯x 1 cos α + 2¯x 2 sin αfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 28
Per esempio nel punto ¯x = (0, 1) si ha L v u(0, 1) = 2 sin α, si vede subito che α = 0 si ha che la derivatadirezionale è nulla perché si sta calcolando la derivata lungo una curva di livello, per α = π/2 si ha chela derivata direzionale è uguale a 2 perché la derivata ammonta a calcolare la derivata della parabola chegenera il paraboloide. Si considera, ora, la retta del piano x 1 x 2 passante per ¯x e con direzione data da v,cioè si considera una curva passante per ¯x e tangente a v in questo punto: ϕ(t) = (¯x 1 +t cos α, ¯x 2 +t sin α)con t ∈ R. Per la proprietà discussa in precedenza la derivata direzionale può essere calcolata anche nelmodo seguente:d∣dt u(ϕ(t)) ∣∣t=0= d dt [(¯x 1 + t cos α) 2 + (¯x 2 + t sin α) 2 ] ∣t=0= [2(¯x 1 + t cos α) cos α + 2(¯x 2 + t sin α) sin α] t=0 = 2¯x 1 cos α + 2¯x 2 sin αdove si è usato che la retta passa per ¯x in corrispondenza di t = 0.Su supponga, ora, che sull’aperto connesso I su cui u è differenziabile sia definita anchela funzione vettoriale f : I ⊂ R n → R n di Lipschitz su I che a ogni punto x ∈ I associail vettore n–dimensionale f(x). Si definisce derivata di Lie della funzione u relativa alcampo vettoriale f la quantitàL f u(x) := L f(x) u(x) = ∇u(x) · f(x) (2.12)per ogni x ∈ I. In altri termini la derivata di Lie 1 di u rispetto al campo vettoriale fè la derivata di u nel punto x calcolata lungo la direzione specificata dal vettore f(x)che il campo vettoriale f associa a x. Dalla discussione precedente segue la seguenteimportante interpretazione della derivata di Lie: si consideri l’unico moto ϕ : J → Iassociato al sistema dinamico ẋ = f(x) passante per un punto ¯x ∈ I all’istante ¯t e siconsideri la funzione composta U(t) := u(ϕ(t)) con t ∈ J, allora la derivata di Lie di urispetto a f nel punto ¯x è uguale alla derivata ordinaria della funzione composta di unavariabile U, ottenuta ottenuta calcolando u lungo il moto ϕ, calcolata nell’istante in cuiil moto passa per il punto ¯x, in altri termini L f u(¯x) = U ′ (¯t).Si può finalmente dare la definizione di integrale primo: si consideri il sistema dinamico(2.6) con f : I → R n di Lipschitz sull’aperto connesso I ⊂ R n . Si dice che una funzione avalori reali u : I → R di classe C 1 (I) è un integrale primo del sistema dinamico (2.6) see solo se per ogni x ∈ I si ha L f u(x) = 0. Dalla discussione precedente sul significato delladerivata di Lie segue immediatamente l’importanza degli integrali primi nel contesto dellostudio dei sistemi dinamici: comunque si prenda un moto ϕ : J → I, se u è un integraleprimo del sistema dinamico, allora la funzione del tempo U : J → R ottenuta calcolandol’integrale primo lungo il moto ha derivata nulla in ogni istante e quindi è costante. Inaltri termini un integrale primo è costante lungo un qualsiasi moto del sistema dinamico.Più precisamente vale la seguente proposizione.Proposizione 2.15 Si considera il sistema dinamico (2.6) con il campo delle direzionif : I → R di Lipschitz sull’aperto connesso I ⊂ R n . Sia u : I → R differenziabile su I.La funzione u è un integrale primo del sistema dinamico (2.6) se e solo se per ogni motoϕ : J → I si ha U(t) := u(ϕ(t)) costante su J.1 Si noti l’analogia tra la derivata di Lie e la derivata sostanziale che si introduce nei problemi difluidodinamica.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 29
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4. u 0 (x) = exp{−α|x|} con α
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6.3. Equazione di Laplace: funzioni
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