Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

ciò fa intuire che in qualche senso le orbite di fase di (2.6) vicine al punto fisso x e sonoben approssimate dalle orbite del sistema linearizzato (2.21). Ovviamente queste sonoparole vuote (si veda l’Esempio 2.29), sta di fatto che sulla base dello studio di (2.21) èpossibile stabilire le importanti proprietà relative alla stabilità del punto fisso x e riassuntenel seguente teorema, detto anche principio di stabilità lineare.Teorema 2.23 Si consideri il sistema dinamico (2.6) con f : I ⊂ R n → R n di classeC 1 (I). Sia x e un suo punto fisso; si consideri il sistema linearizzato (2.21) associato a(2.6) nell’intorno di x e . Siano λ 1 , . . . , λ n ∈ C gli n autovalori della matrice A, allora– se Re λ i < 0 per ogni i = 1, . . . , n allora il punto fisso x e è asintoticamente stabile;– se esiste i ∈ {1, . . . , n} tale che Re λ i > 0 allora il punto fisso x e è instabile.Dimostrazione. La dimostrazione di questo risultato va oltre gli scopi di queste note; sirimanda a [4, Capitolo 4, Paragrafo 17].Teorema 2.23 □Questo teorema è molto potente, ma prima di discuterne le applicazioni si esaminanoi suoi limiti: sulla base del teorema precedente non si potrà mai individuare un puntofisso stabile che non sia anche asintoticamente stabile. Più precisamente il teorema nonpermette di concludere nulla sulla stabilità di x e nel caso in cui gli autovalori hanno tuttiparte reale minore o uguale a zero, ma ve ne è almeno uno con parte reale nulla.Esempio 2.24. Si considera il sistema di Lotka–Volterra (2.10) e si calcolano le derivate parziali primedel campo delle direzioni:∂f 1∂x 1= 1 − x 2 ,∂f 1∂x 2= −x 1 ,∂f 2∂x 1= αx 2 ,∂f 2∂x 2= α(x 1 − 1)Studio del punto fisso (0, 0):( ) 1 0A =⇒ det(A − λ1I) = −(1 − λ)(α + λ) = 0 ⇒ λ 1 = −α < 0 < λ 2 = 10 −αl’esistenza di un autovalore con parte reale positiva implica che il punto fisso (0, 0) è instabile. Studio delpunto fisso (1, 1):( ) 0 −1A =⇒ det(A − λ1I) = λ 2 + α = 0 ⇒ λ 1,2 = ±i √ αα 0dove si è usato che α > 0. Tutti gli autovalori hanno parte reale nulla, quindi il teorema precedente nonpermette di stabilire nulla sulla stabilità del punto fisso (1, 1).Esempio 2.25. Si considera il sistema dinamico (2.16) studiato nell’Esempio 2.18 e si calcolano le derivateparziali prime del campo delle direzioni:∂f 1∂x = ex y 2 ,∂f 1∂y = 2yex ,∂f 2∂x = −y(ex x + e x ),∂f 2∂y = −ex xStudio del punto fisso (¯x, 0) con ¯x ∈ R:( )0 0A =⇒ det(A − λ1I) = λ(λ + xe x ) = 0 ⇒ λ 1 = 00 −e¯x¯xe λ 2 = −¯xe¯xfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 39