Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

La discussione delle proprietà di stabilità dei punti fissi (a, b, 0) del piano Ω 1 Ω 2 è unpo’ più complicata. Si vede subito che lo studio del sistema linearizzato non permettedi concludere alcunché perché gli autovalori della matrice associata al sistema linearizzatorisultano tutti con parte reale nulla. Ciò accade perché la natura del campo delledirezioni è abbastanza peculiare: il campo è nullo sul piano Ω 1 Ω 2 , mentre in qualsiasialtro piano ortogonale all’asse Ω 3 è circolare attorno all’asse Ω 3 . Ciò lascia intuire chei punti fissi del tipo (a, b, 0) sono instabili: se si perturba di poco il punto fisso (a, b, 0)restando nel piano Ω 1 Ω 2 si ottiene ancora un punto fisso, quindi il moto risultante restavicino a quello non perturbato; ma se si perturba di poco il punto fisso introducendo unapiccola componente lungo l’asse Ω 3 , cioè se si considera un dato iniziale del tipo (a, b, µ)con µ ∈ R piccolo quanto si voglia, il sistema dinamico, sospinto dal campo circolare, effettueràun moto circolare attorno all’asse Ω 3 lungo la curva di livello dell’integrale primodell’energia. Ciò lascia intuire che i punti fissi del tipo (a, b, 0) sono instabili. Questo argomento,però, pur essendo estremamente convincente, non costituisce una dimostrazionerigorosa dell’instabilità dei punti fissi del piano equatoriale perché, essendo il problematridimensionale, non è possibile usare il Teorema 2.22, e quindi non si può affermare concertezza come si evolve il moto lungo la linea di livello dell’integrale primo dell’energia.Tutti i dubbi restanti possono essere spazzati via risolvendo in modo esplicito il sistemadinamico. Si osserva, infatti, che nel caso giroscopico non è difficile risolvere le equazioni diEulero, si veda [12, Capitolo XII] per i dettagli, con dato iniziale Ω 1 (0) = ¯Ω 1 , Ω 2 (0) = ¯Ω 2e Ω 3 (0) = ¯Ω 3 . Osservato che la funzione Ω 3 (t) = ¯Ω 3 soddisfa alla terza equazione (2.44)e al dato iniziale, si ha che le ulteriori due equazioni si riducono a˙Ω 1 = (1 − α) Ω 2 ¯Ω3 e ˙Ω2 = (α − 1) ¯Ω 3 Ω 1Derivando la prima delle equazioni precedenti e sostituendo la seconda nell’equazione cosìottenuta si ottiene l’equazione del moto armonico semplice ¨Ω 1 + (1 − α) 2 ¯Ω2 3 Ω 1 = 0. Consemplici passaggi si perviene, nel caso α < 1, alla soluzioneΩ 1 (t) =√¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2 sin ( (1 − α)¯Ω 3 t + ψ ) e Ω 2 (t) =√¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2 cos ( (1 − α)¯Ω 3 t + ψ )dove ψ è tale che sin ψ = ¯Ω 1 / √¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2 e cos ψ = ¯Ω 2 / √¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2; è interessante osservareche per ¯Ω 3 = 0 la soluzione si riduce al punto fisso, cioè alla rotazione permanente. Lasoluzione esplicita conferma in modo puntuale i risultati relativi alla stabilità dei puntifissi ottenuti sulla base dello studio dell’integrale primo dell’energia.3. Sistemi meccanici conservativi unidimensionaliSi consideri un sistema meccanico unidimensionale costituito da una palla di massa unitariasottoposta all’azione della forza g(x) di classe C 1 su R, con x la posizione dellaparticella. Il moto è descritto dall’equazione di Newtonẍ = g(x) (3.1)fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 64