Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

dell’analisi avendo come riferimeno un modello concreto. Si considera il sistema meccanicounidimensionaleẍ + du (x) = 0 (3.2)dxcon x ∈ R e l’energia potenziale data da u(x) = (x 2 − 1)(x + 2) 2 , che descrive il motodi una palla di massa m = 1 sottoposta all’azione della forza g(x) = −du(x)/dx =−2(x + 2)(2x 2 + 2x − 1). Si considera il sistema dinamico planare equivalente, ˙q = p eṗ = −u ′ (q), ottenuto introducendo le variabili q = x e p = ẋ. Il problema viene affrontatodal punto di vista dell’analisi grafica il cui obiettivo principe è la determinazione delritratto di fase.Dalla conservazione dell’energia meccanica si ha che la funzione h(q, p) := p 2 /2+u(q) =p 2 /2 + (q 2 − 1)(q + 2) 2 è un integrale primo, cioè una costante del moto. Nell’analisigrafica dei moti dei sistemi meccanici conservativi unidimensionali un ruolo chiave vienegiocato dalle curve di livello dell’energia nello spazio delle fasi qp, cioè dalle curve Γ e :={(q, p) ∈ R 2 : h(q, p) = e}, ove e ∈ R è una valore fissato dell’energia. In particolare, invirtù della forma particolare, dell’integrale primo dell’energia si ha che a fissato e i puntiaccessibili al moto sono tutti e soli i punti nell’insieme I e := {q ∈ R : e − u(q) ≥ 0}.In primo luogo è utile studiare la funzione energia potenziale in modo da determinarei punti di equilibrio e da stabilirne le loro proprietà di stabilità. Insieme di definizione: lafunzione u(q) è definita su tutto R. Zeri della funzione: q 1 = −2, q 2 = −1 e q 3 = +1. Segnodella funzione: u(q) ≥ 0 se e solo se q ≤ q 2 e q ≥ q 3 . Derivata: u ′ (q) = 2(q+2)(2q 2 +2q−1).Punti estremali: q 1 = −2, q 4 = −(1 + √ 3)/2 e q 5 = −(1 − √ 3)/2; q 1 e q 5 sono punti diminimo, mentre q 4 è un punto di massimo. Si osserva che q 1 < q 4 < q 2 < q 5 < q 3 . Valoreassunto dalla funzione negli estremali:√3u(q 1 ) = 0 u 4 := u(q 4 ) =8 (3 − √ √33) 2 u 5 := u(q 5 ) = −8 (3 + √ 3) 2Infine osservo che la funzione diverge positivamente quando q → ±∞. Si ottiene quindiil grafico in figura 3.21. Si osserva che q 1 e q 5 sono punti di equilibrio stabile, mentre q 4 èun punto di equilibrio instabile.È ora possibile discutere qualitativamente le soluzioni della (3.2) al variare dell’energiadel sistema. Si considerano i seguenti intervalli di energia:– e < u 5 : u 5 è il minimo assoluto della funzione u(q), quindi per ogni q ∈ R si hae − u(q) < 0. Non esiste moto, I e = ∅.– e = u 5 : il punto q 5 è l’unico punto tale che e−u(q) ≥ 0, allora I e = {q 5 }. La curva dilivello è costituita da un solo punto: Γ e = {(q, p) ∈ R 2 : q = (−1 + √ 3)/2, p = 0}.L’unica possibile soluzione di (3.2) è il punto di equilibrio stabile q(t) = q 5 .– u 5 < e < 0: denoto con q1 e < qe 2 le due soluzioni dell’equazione e − u(q) = 0.L’insieme dei punti accessibili al moto è l’intervallo I e = [q1 e, qe 2 ]. La curva di livelloΓ e = {(q, p) ∈ R 2 : q1 e ≤ q ≤ q2, e p = ± √ 2(e − u(q)} è una curva chiusa e regolareattorno a (q 5 , 0). Poiché la curva di livello non passa per nessun punto di equilibirio,fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 67