Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

−πp✲✻✲✲ ✲✛0 π q✛✛Fig. 2.17. Curve di livello per il pendolo rotante nel caso ρ ≥ 1. I versi non indicati in figura si ottengonoper continuità.Osservo che nel caso ρ < 1 si ha det (H(P 3 )) = H 1,1 (P 3 ) = ω 2 (1 − ρ 2 ) > 0, allora P 3 è punto di minimoper la funzione h(q, p). Si dimostra che la funzione w(q, p) = h(q, p) − h(P 3 ) è una funzione di Liapunovper P 3 , quindi usando il Teorema 2.30 si conclude che P 3 è punto di equilibrio stabile nel caso ρ < 1.Inoltre osservo che det (H(P 1 )) = H 1,1 (P 1 ) = ω 2 (ρ − 1), quindi si può concludere che nel caso ρ > 1 ilpunto P 1 è stabile. Nel caso ρ = 1 non si può dire nulla perché det (H(P 1 )) = H 1,1 (P 1 ) = 0, ma questocaso può essere discusso in modo diretto, infatti osservo che h(q, p) = p 2 /2 + (ω 2 /4)(2 cos 2 q − 4 cos q − 1)e h(P 1 ) = −3ω 2 /4. Quindi,h(q, p) − h(P 1 ) = 1 2 p2 + 1 2 ω2 (2 cos q − 1) 2 > 0 ∀(q, p) ≠ (0, 0)Allora P 1 è un punto di minimo per h(q, p) è quindi è un punto di equilibrio stabile. Si riassumono, infine,i risultati relativi alla stabilità dei punti fissi:– ρ < 1: P 1 e P 2 instabili, P 3 stabile.– ρ ≥ 1: P 1 stabile, P 2 instabile.5. Studio delle curve di livello nel caso ρ = 1. Nel caso ρ > 1 si ottengono risultati analoghi. Il puntoP 2 è punto di equilibrio instabile e h 2 := h(P 2 ) = 5ω 2 /4: le curve di livello più interessanti sono quellepassanti per i punti critici instabili.– Si considera la separatrice Γ h2 := {(q, p) ∈ [−π, π] × R : h(q, p) = h 2 }. Nel semipiano p > 0l’equazione di tale curva è p = ω √ 4 − (cos q − 1) 2 . Per disegnare la curva è sufficiente osservareche in [0, π] la funzione 4 − (cos q − 1) 2 decresce da 4 a 0: risulta, quindi, il grafico in figura 2.17con le intersezioni con l’asse q = 0 nei punti ±2ω. Su Γ h2 giacciono tre orbite: due asintotiche aP 2 ≡ −P 2 e una coincidente con il punto di equilibrio instabile P 2 ≡ −P 2 .– Osservo che h(P 2 ) = 5ω 2 /4 > h(P 1 ) = −3ω 2 /4 =: h 1 ; quindi per la continuità della costante delmoto h(q, p) le curve di livello relative a energie comprese tra h 1 e h 2 si troveranno tutte all’internodi Γ h2 , mentre quelle relative a energie maggiori di h 2 si troveranno tutte all’esterno.– Considero un’energia h 1 < e < h 2 : la regione contenuta all’interno di Γ h2 conteniene un solo puntodi equilibrio stabile P 1 , quindi le curve di livello sono curve chiuse e regolari che ruotano attorno aP 1 , si veda il Teorema 2.22. Su ciascuna curva di livello giace un’orbita periodica attorno al puntodi equilibrio stabile.– Sia e > h 2 : le curve di livello h(q, p) = e le disegno per continuità.– I versi sulle curve di livello vengono determinati osservando che ˙q = p/m è positivo nel semipianop > 0 e negativo in quello p < 0.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 53