Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

e osservo che q + 2 ≥ 1 se −1 ≤ q ≤ 0, mentre q + 2 ≥ 2 se 0 ≤ q ≤ +1. Allora si haT ≤ √ [ ∫ 02−1∫dq+1√ + 1 − q200dq]2 √ = √ { [2 0 + π ]+ 1 [ π] }1 − q 2 2 2 2 − 0 = 3 2π =: T′4√+che migliora la stima dall’alto, infatti T + ′ ≃ 1.06π.Si considera, ora, una situazione analoga a quella appena discussa: per un moto conenergia u 5 < e < u 4 si esprime il periodo per mezzo di un integrale definito e in particolaresi dimostra che è finito. Sia e tale che u 5 < e < u 4 . Dalla discussione precedente si hache esiste almeno un’orbita periodica. Scelgo l’orbita che ruota attorno a q 5 e denoto cona < b i due punti di inversione: a, b dipendono da e, ma per semplicità ometto questadipendenza nella notazione. Osservo che b > 0 mentre a può essere sia positivo chenegativo. Dall’equazione dq/dt = √ 2[e − u(q)] si ottiene∫ T/2 ∫ bdqdt = √ ⇒ T = √ ∫ bdq2 √ (3.4)a 2[e − u(q)] a P (q)ove si è definito P (q) := e − u(q). Dimostro che l’integrale (3.4) è convergente e quindiche il periodo è finito: si osserva che a e b sono zeri del polinomio P (q) e che P (q) ≠ 0 perogni q ∈ (a, b). Allora per dimostrare la convergenza dell’integrale è sufficiente verificareche l’integrando diverga abbastanza lentamente agli estremi dell’intervallo di integrazione.Dal momento che P ′ (a) ≠ 0 e P ′ (b) ≠ 0 i punti a e b sono due zeri semplici del polinomio,allora si può scrivereP (q) = (q − a)(b − q)(a 1 q 2 + a 2 q + a 3 )con opportuni numeri reali a 1 , a 2 e a 3 . Inoltre il trinomio a 1 q 2 + a 2 q + a 3 è strettamentepositivo nell’intervallo [a, b]. In conclusione la funzione √ P (q) è un infinitesimo di ordine1/2 in a e in b, quindi l’integrale (3.4) è convergente. Nella discussione precedente è statausata la forma polinomiale della funzione energia potenziale u; lo stesso risultato puòessere ottenuto in modo più generale usando soltanto il fatto che u ′ (a) < 0 e u ′ (b) > 0.Si studia la convergenza dell’integrale in b, per a si ragiona in modo analogo. Ricordandoche P (b) = 0, preso δ > 0 piccolo si ha che la funzione P può scritta mediante la seguenteformula di Taylor arrestata al primo ordine: per ogni q ∈ [b − δ, b][P (q) = −u ′ (b)(q − b) + ω(q) = u ′ (b)(b − q) + ω(q) = u ′ ω(q)](b)(b − q) 1 +u ′ (b)(b − q)con lim q→q4 ω(q)/(q − b) = 0. La formula precedente permette di concludere che P (q)è un infinitesimo di ordine uno in b e quindi il denominatore dell’integrando al secondomembro di (3.4) è un infinitesimo di ordine 1/2 in b. Si dimostra un risultato analogo ina e si conclude che l’integrale che esprime il periodo dell’orbita è convergente.3.4. Analisi grafica: periodo delle piccole oscillazioniSi considerano i moti periodici attorno a q 1 con energia 0 < e < u 4 . In particolare si vuoledeterminare il periodo delle oscillazioni nel caso in cui l’energia sia molto vicina al valorefismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 72