Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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Indice1. Equazioni differenziali ordinarie autonome del primo ordine 11.1. Aspetti generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemi dinamici unidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Analisi grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Stima del tempo di percorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Esistenza e unicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Equazioni differenziali ordinarie autonome di ordine superiore al primo 182.1. Aspetti generali e teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Descrizione grafica e definizione di stabilità secondo Liapunov . . . . . . . . 212.3. Sistemi dinamici planari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Integrali primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Stabilità dei punti fissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Moti alla Poinsot: stabilità delle rotazioni permanenti . . . . . . . . . . . . 593. Sistemi meccanici conservativi unidimensionali 643.1. Teoremi di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Analisi grafica: ritratto di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3. Analisi grafica: tempi di percorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Analisi grafica: periodo delle piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . 723.5. Moti centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali 844.1. Equazione di continuità per un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2. Equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3. Equazione di Laplace: distribuzione stazionaria della temperatura . . . . . . 894.4. Equazione di Laplace: potenziale elettrostatico nel vuoto . . . . . . . . . . . 894.5. Equazione delle onde per il campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 904.6. Equazione di d’Alambert per le onde elettromagnetiche piane . . . . . . . . 914.7. Equazione di d’Alambert per la corda sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.8. Oscillazioni non lineari ed equazione di Burger . . . . . . . . . . . . . . . . 944.9. Oscillazioni non lineari ed equazione di Korteweg–de Vries . . . . . . . . . 965. Caratteristiche delle equazioni alle derivate parziali del primo ordine 975.1. Equazioni differenziali alle derivate parziali lineari omogenee . . . . . . . . 985.2. Equazioni differenziali alle derivate parziali semilineari . . . . . . . . . . . 985.3. Equazioni differenziali alle derivate parziali quasilineari . . . . . . . . . . . 996. Esercizi sulle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine 1006.1. Classificazione e forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2. Alcuni semplici esempi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 118
6.3. Equazione di Laplace: funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4. Equazione di Laplace: dominio rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5. Equazione di Laplace: dominio a simmetria cilindrica . . . . . . . . . . . . 1056.6. Equazione di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.7. Equazione delle onde: corda illimitata e semi–illimitata . . . . . . . . . . . 1066.8. Equazione delle onde: corda e sbarra limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.9. Equazione delle onde: membrana rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.10. Equazione del calore: sbarra limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.11. Equazione del calore: sbarra illimitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Bibliografia 117fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 119
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Esercizi e appunti per il corso di
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⇒ x(t) = Ce tcon C ∈ RImpondend
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✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x
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viene scelto vicino a x 2 il sistem
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Esercizio 1.4. Supponendo uniforme
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Questo è parzialmente vero nel cas
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L’integrale, infatti, ha senso pe
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sensato, perché si ricorda che le
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dimostrare che il tempo t 1 − t 0
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con f : R n → R una funzione asse
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Come nel caso unidimensionale verif
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- asintoticamente stabile se e solo
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Esempio 2.9. Sulla base di argoment
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x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄
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Per esempio nel punto ¯x = (0, 1)
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livello chiusa, questa osservazione
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(x 2 + y 2 )/2. Si può verificare
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- Per a = 1, la curva di livello pa
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Teorema 2.21 Si consideri il sistem
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ciò fa intuire che in qualche sens
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Teorema 2.28 (Stabilità dei sistem
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La palla B δ (x e ) è proprio que
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e si studia la matrice associata al
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−ω 2 sin θ, dove ω = √ g/l
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Da questa proprietà segue che w è
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✲✲✛✛P 3p✻✲✲✛✛P 2
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−πp✲✻✲✲ ✲✛0 π q✛
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è soddisfatta, perché L f ′w(q,
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y✻✛− √ 2✲✲ ✲✲✛
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Esercizio 2.16. Per i seguenti sist
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degli assi cartesiani dello spazio
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Dal momento che I 1 < I 2 < I 3 si
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Il problema (3.1) può essere ricon
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Page 85 and 86: deve specificare il valore della ca
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Page 89 and 90: x ∈ [a, b], u x (a, t) = u 1,a (t
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Page 99 and 100: 1. u x + u y = u;2. 2u x − 3u y =
Page 101 and 102: In realtà lo studio è limitato al
Page 103 and 104: 3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x
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Page 117: 4. u 0 (x) = exp{−α|x|} con α
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