Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

em que f t = F ′ ta t = E(log(λ t ) | D t−1 ) e q t = F ′ tR t F t = V ar(log(λ t ) | D t−1 ).
Da análise conjugada, temos que
E(λ t | D t−1 ) = α t
β t
(B.7)
e
V ar(λ t | D t−1 ) = α t
. (B.8)
βt
2
Pode ser mostrado que
E(log(λ t ) | D t−1 ) = γ(α t ) − log(β t )
(B.9)
e
V ar(log(λ t ) | D t−1 ) = ˙γ(α t ),
(B.10)
em que γ(·) e ˙γ(·) são, respectivamente, a função digama e função trigama. Entretanto,
na prática, utilizar os valores reais da esperança em (B.9) e da variância (B.10) pode
gerar um grande custo computacional. Portanto, uma alternativa simples é aproximar
E(log(λ t ) | D t−1 ) e V ar(log(λ t ) | D t−1 ) através de uma expansão em Taylor até primeira
ordem com centro em E(λ t | D t−1 ). Assim, temos que
e
E(log(λ t ) | D t−1 ) ∼ = log(E(λ t | D t−1 )) = log
(
αt
)
= log(α t ) − log(β t ) (B.11)
β t
V ar(log(λ t ) | D t−1 ) ∼ = V ar(λ t | D t−1 )
E(λ t | D t−1 ) 2 = 1 α t
. (B.12)
Resolvendo agora um sistema simples, encontramos os parâmetros da distribuição a priori
conjugada para λ t da forma
α t = 1 q t
(B.13)
e
β t =
1
q t exp(f t ) .
(B.14)
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