Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

3.1 Modelos Dinâmicos para Dados de Contagem
Nesta seção, apresentamos os modelos dinâmicos os quais estamos interessados. São
modelos da classe dos MLDG descrita na Subseção 2.3.2 em que assumimos que a variável
resposta segue uma distribuição de Poisson. Modelo dinâmicos de mistura que incluem
parâmetros para capturar variação extra também serão apresentados nesta seção.
3.1.1 Modelo Poisson Dinâmico
Considere Y 1 , . . . , Y T , contagens de um determinado fenômeno. Supomos que as
variáveis aleatórias Y t , para t = 1, . . . , T , são condicionalmente independentes e seguem
uma distribuição de Poisson com média λ t , isto é,
Y t | λ t ∼ P oi(λ t ). (3.1)
Assumiremos que a média λ t varia no tempo através de uma estrutura dinâmica, a mesma
descrita pelas equações (2.16b) e (2.16c) da Subseção 2.3.2, da forma
log(λ t ) = µ t (3.2a)
µ t = µ t−1 + ω t , ω t ∼ N(0, W ), (3.2b)
em que a média λ t faz o mesmo papel do parâmetro natural η t , log(·) é a função de ligação,
µ t é o parâmetro de estado que neste modelo representa um nível que varia suavemente
no tempo, F t = 1, G t = 1 e W t = W , para t = 1, . . . , T . O modelo se completa depois
que assumimos uma distribuição a priori para o parâmetro µ 0 . Neste caso, assumimos
que
µ 0 | D 0 ∼ N(m 0 , C 0 ), (3.3)
em que m 0 e C 0 são valores conhecidos e refletem nossa incerteza a priori a respeito do
processo no instante inicial. Geralmente, na prática, o valor de W não é conhecido e
precisa ser estimado. Portanto, dada a informação D 0 , devemos também atribuir uma
distribuição a priori para W .
Note que, ao assumir que Y t segue uma distribuição de Poisson, estamos implicitamente
assumindo que E(Y t | λ t ) = V ar(Y t | λ t ) = λ t , porém, raramente os dados
29