Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

distribuição de Bernoulli com probabilidade α. Em outras palavras, ∑ Y t−1
i=1 B it segue uma
distribuição binomial com parâmetro correspondente ao número de ensaios n = Y t−1 e
parâmetro correspondente à probabilidade de “sucesso”p = α, isto é,
α ◦ Y t−1 | Y t−1 ∼ Bin(Y t−1 , α), (3.28)
e representa a componente de morte ou sobrevivência. Desta forma, podemos dizer que
αY t−1 representa a proporção média de “sobreviventes”no processo no tempo t, para
t = 2, . . . , T . Pode ser mostrado, utilizando convolução, que a função de probabilidade
de Y t | Y t−1 é da forma
p(Y t | Y t−1 ) =
min(Y t,Y t−1 )
∑
s=0
⎛
⎝ Y t−1
s
⎞
⎠ α s (1 − α) Y t−1−s exp(−λ)λYt−s . (3.29)
(Y t − s)!
O modelo Poisson autoregressivo assim se chama pelo fato da distribuição estacionária
de Y t em (3.26) ser uma distribuição de Poisson com média λ/(1 − α). Este resultado foi
mostrado por McKenzie (1988). Freeland (1998), de maneira simples, fornece uma prova
deste mesmo resultado utilizando funções geradoras de momentos.
3.2.1 Modelo PAR com Estrutura Sazonal
Considere o modelo descrito em (3.26). Iremos agora impor uma estrutura sazonal à
componente de chegada ν t através de uma função de ligação logarítmica da forma
log(λ t ) = β 0 + β 1 sen(2πt/p) + β 2 cos(2πt/p), (3.30)
em que λ t é a média de ν t , que agora permitimos variar no tempo, para t = 2, . . . , T ,
e p representa o período sazonal. Note que neste modelo, a sazonalidade está sendo
considerada através de covariáveis que são funções trigonométricas e que os parâmetros
do modelo são fixos, ao contrário do que acontece com o modelo dinâmico sazonal descrito
na Subseção (3.1.4), em que consideramos os parâmetros variando suavemente no tempo.
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