Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

3.1.3 Modelo Poisson-Lognormal Dinâmico
Considere novamente Y 1 , . . . , Y T , contagens de um determinado fenômeno. Supomos
que as variáveis aleatórias Y t , para t = 1, . . . , T , são condicionalmente independentes e
seguem uma distribuição de Poisson com média λ ⋆ t , isto é,
Y t | λ ⋆ t , ∼ P oi(λ ⋆ t ). (3.10)
Assumiremos que o parâmetro λ ⋆ t varia no tempo através de uma estrutura dinâmica
similar à vista em (3.2) e uma distribuição a priori para o parâmetro µ 0 da mesma forma
que a vista em (3.3). A diferença na estrutura dinâmica de λ ⋆ t é a inclusão de um erro
aleatório normal na equação vista em (3.2a), isto é, a estrutura dinâmica agora é da
forma
log(λ ⋆ t ) = µ t + ν t , ν t ∼ N(ξ, V ) (3.11a)
µ t = µ t−1 + ω t , ω t ∼ N(0, W ). (3.11b)
Da equação em (3.11a), temos que
λ ⋆ t = exp(µ t + ν t ) (3.12a)
= exp(µ t ) exp(ν t ) (3.12b)
= λ t δ t , (3.12c)
em que λ t = exp(µ t ) segue a mesma estrutura dinâmica vista em (3.2) e δ t = exp(ν t ),
para t = 1, . . . , T , segue uma distribuição lognormal com parâmetro correspondente à
média da distribuição normal ξ e parâmetro correspondente à variância da distribuição
normal V , isto é,
δ t | V ∼ LN(ξ, V ). (3.13)
De forma análoga ao modelo binomial negativo descrito na Subseção 3.1.2, o parâmetro
δ t , neste modelo, tem como finalidade capturar algum efeito de sobredispersão que possa
existir nos dados e que não é explicado pela estrutura dinâmica em 3.2a e 3.2b. O modelo
Poisson-lognormal também é um modelo de mistura, mas ao contrário do que acontece
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