Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

Backward Sampling
Frühwirth-Schnater (1994) e Carter e Kohn (1994) propuseram o algoritmo FFBS
(do inglês Forward Filtering Backward Sampling) para estimação dos parâmetros de estado
em modelos lineares dinâmicos normais. A idéia do método é amostrar todos os
elementos do vetor de estados em um passo de amostragem múltipla. Em um MLD, o
passo Forward Filtering, similarmente ao Conjugate Updating em um MLDG, consiste
em calcular seqüencialmente o primeiro e segundo momentos da distribuição a posteriori
do parâmetro de estado θ t , para t = 1, . . . , T . Estes momentos são encontrados através
do Filtro de Kalman. Neste caso, porém, diferentemente do Conjugate Updating, a distribuição
a posteriori de θ t é exatamente conhecida, de modo mais específico, θ t segue
uma distribuição normal. O passo Backward Sampling do algoritmo FFBS é baseado na
decomposição da distribuição a posteriori conjunta dos parâmetros de estado da forma
T∏
−1
p(θ 1 , . . . , θ T | D T ) = p(θ T | D T ) p(θ t | θ t+1 , D t ). (2.57)
Pelo teorema de Bayes, para t = T − 1, . . . , 1, pode ser mostrado que
t=1
p(θ t | θ t+1 , D t ) ∝ p(θ t+1 | θ t , D t )p(θ t | D t ) (2.58)
segue uma distribuição normal com média
e variância
m s t = m t + C t G ′ t+1(G t+1 C t G ′ t+1 + W t+1 ) −1 (θ t+1 − G t+1 m t ) (2.59)
C s t = C t − C t G ′ t+1(G t+1 C t G ′ t+1 + W t+1 ) −1 G t+1 C t , (2.60)
em que m t e C t são o primeiro e segundo momentos obtidos através do Filtro de Kalman.
O primeiro momento m s t e o segundo momento C s t são denominados momentos suavizados.
Para o tempo T , temos que m s t = m t e C s t = C t .
No algoritmo CUBS, substituímos o passo Forward Filtering pelo Conjugate Updating.
Uma vez que encontramos seqüencialmente o primeiro e o segundo momentos da
distribuição a posteriori do parâmetro de estado θ t , para t = 1, . . . , T , supomos normalidade
desta distribuição e baseando-nos na decomposição da distribuição condicional
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