Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

2.3.2 Modelos Lineares Dinâmicos Generalizados (MLDG)
A classe dos modelos lineares dinâmicos generalizados (MLDG) foi introduzida por
West et al. (1985). Os modelos desta subclasse dos modelos dinâmicos são extensões
dos modelos lineares dinâmicos (MLD) apresentados na Subseção 2.3.1, mas agora sem
a suposição de normalidade da variável resposta e sem a suposição de normalidade na
evolução dos parâmetros de estado.
Considere uma série temporal Y 1 , Y 2 , . . . de observações univariadas. Assumimos
agora que Y t , para t = 1, 2, . . . , segue uma distribuição na família exponencial: uma
classe muita ampla de distribuições que inclui, entre outras, a distribuição normal. Se
uma variável aleatória Y t contínua ou discreta segue uma distribuição na família exponencial,
sua função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade pode ser
escrita como
p(Y t | η t , φ t ) = exp{φ t [Y t η t − b(η t )]}c(Y t , φ t ), (2.13)
em que b(·) e c(·, ·) são funções conhecidas, η t é o parâmetro natural da distribuição,
satisfazendo a
E(Y t | η t , φ t ) = ϑ t = ḃ(η t), (2.14)
e φ t é um parâmetro de escala conhecido, satisfazendo a
V ar(Y t | η t , φ t ) = ¨b(η t )
φ t
, (2.15)
em que ḃ(·) e ¨b(·) são, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas da função b(·).
Podemos, então, caracterizar um MLDG de forma semelhante ao MLD como
Y t ∝ exp{φ t [Y t η t − b(η t )]} (2.16a)
g(η t ) = F ′ tθ t (2.16b)
θ t = G t θ t−1 + ω t , ω t ∼ (0, W t ). (2.16c)
Note que a equação da observação, descrita anteriormente em (2.10a) para um MLD, foi
agora substituída pelo par de equações (2.16a) e (2.16b), em que g(·) é uma função de
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