Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

com o modelo binomial negativo, a distribuição marginal de Y t com respeito ao parâmetro
δ t , para t = 1, . . . , T , não possui forma conhecida. Entretanto, utilizando as propriedades
da esperança e da variância condicional, podemos mostrar que
(
E(Y t | λ t , ξ, V ) = λ t exp ξ + V )
2
(3.14)
e
(
V ar(Y t | λ t , ξ, V ) = λ t exp ξ + V )
+ λ 2 t exp(2ξ + V )(exp(V ) − 1). (3.15)
2
Note que, portanto, o modelo Poisson-lognormal, assim como o modelo binomial negativo,
é capaz de capturar a sobredispersão através de um efeito aditivo positivo na média do
processo como pode ser visto em (3.14) e (3.15). Note também que, quando ξ = −V/2
com
( ) 1
V = log
ε + 1 , (3.16)
temos que o modelo Poisson-lognormal é equivalente ao modelo binomial negativo descrito
na subseção 3.1.2, pois
E(Y t | λ t , V ) = λ t = E(Y t | λ t , ε) (3.17)
e
V ar(Y t | λ t , V ) = λ t + λ 2 t (exp(V ) − 1) = λ t + λ2 t
ε = V ar(Y t | λ t , ε). (3.18)
Para fins de exemplificação, considere uma série de tamanho T = 100 de valores λ t
gerados a partir da estrutura dinâmica em (3.2), em que consideramos µ 0 = 1 e W = 1.
A série destes valores λ t , para t = 1, . . . , 100, pode ser observada na Figura 3.1. Na
Figura 3.2, podemos ver o comportamento da sobredispersão para alguns valores de ε e
V para o caso em que consideramos ξ = −V/2. Note que os valores da sobredispersão
são bastante sensíveis a qualquer pequena mudança nos valores dos parâmetros ε e V .
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