Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

Kapitel 7
Optoelektronik
7.1 Die optische Verstärkung
Die Verstärkung der Photonen der Mode k ist gegeben durch das Produkt von
Verstärkungskoeffizient g(¯hω) und Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Photonen |Ψ k | 2
nach Gleichung (1.18). Der Verstärkungskoeffizient ist das Verhältnis der Anzahl der
pro Volumen und Zeit erzeugten Photonen und der Anzahl der pro Volumen und
Zeit eingestrahlten Photonen. g(¯hω) wird auch als lokale Verstärkung bezeichnet.
Die Rekombination eines Leitungsbandelektrons der Energie E C und eines Valenzbandloches
der Energie E V ist proportional dem Produkt der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
des besetzten Leitungsbandzustandes und des unbesetzten Valenzbandzustandes
f C (E C )·(1−f V (E V )). Die Absorption eines Photons und Anregung
eines Elektrons von E V nach E C ist proportional dem Produkt der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
für den unbesetzten Leitungsbandzustand und den besetzten
Valenzbandzustand (1 − f C (E C )) · f V (E V ). Somit ist die Verstärkung als Differenz
von Rekombination und Absorption proportional zu
f C (E C ) · (1 − f V (E V )) − (1 − f C (E C )) · f V (E V ) = f C (E C ) − f V (E V ) (7.1)
Mit Verwendung von Fermis Goldener Regel kann die lokale Verstärkung im
Quantengraben durch
g(¯hω) = C 0
∑
i,j
∫
k max 2π
0
∫
0
|M i,j | 2( )
f c (E i ) − f v (E j ) δ(E i − E j − ¯hω) dφ dk ρ (7.2)
beschrieben werden. Man beachte die Abhängigkeit der Subbandenergien E i (k ρ , φ))
und E j (k ρ , φ)) von Betrag und Winkel des Wellenvektors ⃗ k innerhalb der QW-
Ebene. Die Konstante C 0 ist
C 0 =
π e 2
n r cε 0 m 2 0 ω =
h π e2
2n r cε 0 m 2 ·
0
1
¯hω
(7.3)
mit dem Brechungsindex n r . Dieser ist abhängig von der optischen Energie ¯hω (siehe
[101, 102] und Anhang J in [46]), der Temperatur und der Ladungsträgerdichte.
Tabelle 7.1 gibt für einige III-V-Materialien mittlere Werte an.
|M i,j | 2 ist das quadrierte optische Impulsmatrixelement, das im Quantum-Well
von der Polarisation der Photonen abhängig ist. Es wird im Abschnitt 7.1.1 beschrieben.
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