Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 107
Material extrahiert werden kann. Wie Tabelle 7.2 zeigt, wird das optische Impulsmatrixelement
damit jedoch zu klein berechnet. Meist wird der Energieparameter
E P , in mancher Literatur auch selber als P 2 bezeichnet, verwendet. Werte von
E P wurden durch die 14-Band-k·p -Methode [45] und die empirische Pseudopotentialmethode
[50] berechnet, sowie mit Elektronspinresonanzexperimenten gemessen
[103].
E P = 2m2 0
¯h 2 P 2 (7.10)
Material E P (eV) [46] E P (eV) [44]
(
m0
GaAs 25,7 28,8 21,2
AlAs 21,1 21,1 17,7
InAs 22,2 21,5 18,6
InP 20,7 20,7 16,5
m ∗ e
)
Eg (E
− 1
g +∆)
(eV)
(E g + 2 3 ∆)
Tabelle 7.2: Energieparameter E P für wichtige III-V-Halbleiter nach zwei Quellen.
Zum Vergleich wurden die Werte nach dem Ausdruck des Kane’schen
Modells (Gleichung 7.9) angegeben.
Im Quantum-Well unterscheidet man zwei Polarisationen des Lichtes. Bei der
TE-Polarisation (ê = ˆx) ist das optische Feld in der (x, y)-Quantum-Well-Ebene
polarisiert. Bei der TM-Polarisation (ê = ẑ) ist es in der Wachstumsrichtung, also
senkrecht zur Quantum-Well-Ebene polarisiert.
Ungekoppelte Valenzbänder
Die Energien der Subbänder sind isotrop in der (k x , k y )-Ebene und die einhüllenden
Funktionen φ(z) sind skalar.
In [46] (S. 371ff) wird gezeigt, daß die optischen Impulsmatrixelemente eines
Elektronenbandes und eines ungekoppelten Löcherbandes mit dieser Gleichung berechnet
werden:
|M i,j | 2 = |ê · ⃗p cv | 2 = P i,j (θ)|O ij | 2 M 2 b (7.11)
Entscheidend für die Rekombination eines Elektron-Loch-Paares im Quantengraben
ist, ob sich ihre einhüllenden Funktionen φ(z) und damit ihre Wellenfunktionen
konstruktiv oder destruktiv überlagern. Die Überlagerung der einhüllenden
Funktionen wird durch das Überlappintegral beschrieben.
|O i,j | 2 =
∫ ∞
−∞
φ ∗ i (z)φ j (z)dz (7.12)
Ein Übergang ist verboten, wenn |O ij | 2 = 0 ist.
Der polarisationsbestimmende Faktor P i,j (θ) ist in Tabelle 7.3 angegeben. Der Faktor
hat seine Ursache in der Überlappung der Zonenzentrum-Blochfaktoren, die
im Enveloppenfunktionsformalismus absepariert wurden. P i,j ist nicht vom Winkel
φ zwischen k x und k z abhängig, weil durch die Rotationssymmetrie der Energiesubbänder
im ⃗ k-Raum über φ gemittelt werden kann.
θ(k ρ ) bzw. θ(E) ist der Winkel zwischen k z und k ρ . Im Quantum-Well haben
die Wellenvektoren der Ladungsträger jedoch keine k z -Komponente. Dieser Widerspruch
löst sich auf, wenn man die Dispersion des homogenen QW-Materials
E(k ρ , k z ) auf die (radialsymmetrische) Subbanddispersion E n (k ρ ) projeziert. Dies