Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

5.4. BERECHNUNG DER DREIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 75
F j−
1LH
F j−
2LH
−ikz
j,LH (u j F j−
1LH + vj F j−
2LH )
−ikz
j,LH (v j F j−
1LH + wj F j−
2LH )
F j−
1SO
F j−
2SO
−ikj,SO z (u j F j−
1SO + vj F −j
2SO )
−ikj,SO z (v j F j−
1SO + wj F −j
⎤
⎥
⎦
2SO )
(5.86)
Die Gesamtübertragungsmatrix, die Eigenenergien und die Wellenfunktionen
werden nun wie in Abschnitt 5.3.1 ermittelt.
5.4 Berechnung der Dreibandschrödingergleichung
Die Dreibandschrödingergleichung im Quantum-Well erhält man durch Blockdiagonalisierung
des Luttinger-Kohn-6×6-Hamiltonian (siehe 4.5). Sie beschreibt die
Zustände der schweren, leichten und Spinorbitallöcher im reziproken Raum.
H U =
⎡
⎢
⎣
√ √
P + Q + ζ
˜R
2|R| + i 2
2 |S|
⎤
√
˜R †
√
P − Q − ζ 2(Q + ζ) + i 6
√ 2 |S| ⎥
⎦ + δE hy
√
2|R| − i
2
2 |S| √ √
2(Q + ζ) − i
6
2 |S| P + ∆ (5.87)
Es sind
}
˜R
˜R † = |R| ∓ i|S| =
√
2|R| ± i
√
2
( ¯h
2
) √3 √
γ2 2 2m (k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 ∓ i2 √ ( ¯h
2
)
3 γ 3 k ρ k z
0 2m 0
2 |S| = ( ¯h
2
2m 0
) √6 √
γ2 2(k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 ± i √ ( ¯h
2
6
√
2(Q + ζ) ± i
√
6
2 |S| = ( ¯h
2
2m 0
) √2γ2
(k 2 ρ − 2k 2 z) + √ 2ζ ± i3 √ 2
2m 0
)
γ 3 k ρ k z
( ¯h
2
2m 0
)
γ 3 k ρ k z
(5.88)
Die hydrostatische Komponente der Verspannung wird im Potential V h (z) integriert
und die Eigenenergien Ē(⃗ k) = E + V h + P im homogenen Material sind die
Lösungen dieser Gleichung
(
E 3 − ∆E 2 − 3
(
− 3
Q 2 + |R| 2 + |S| 2) E + 2Q 3 + ∆Q 2
2|R| 2 − |S| 2) Q +
(
|R| 2 + |S| 2) ∆ − 3 √ 2|R||S| 2 = 0 (5.89)
Die Lösungen sind genau wie die Auflösung nach k z nicht mehr überschaubar.
Für k z ergibt sich folgende Gleichung
ak 6 z + b(Ē − V h, k ρ )k 4 z + c(k ρ , k x k y )k 3 z (5.90)
+ d(Ē − V h, k ρ , k x k y )k 2 z + e(k ρ , k x k y )kz + f(Ē − V h, k ρ , k x k y ) = 0
Die Parameter a . . . f sind im Anhang 9 aufgelistet. Die k 3 z- und k z -Terme verursachen
eine vernachlässigbare Nichtparabolizität. Nach Streichen dieser Terme