Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

44 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN
Die EFA kann für III-V-Halbleiter-Quantengräben der QW-Breiten von ca. 8 nm
bis 20 nm angewendet werden. Dies wird in Abschnitt 4.9 detailiert diskutiert.
4.1.1 Die Idee des Envelopenfunktionsformalismus
Bastard [52, 53, 56] führte den heute noch am meisten benutzten Ansatz ein, der
auf folgenden Hauptannahmen beruht:
(i) In jedem Bereich wird die Wellenfunktion nach den periodischen Teilen der
Blochfunktionen, den Blochfaktoren, am Zonenzentrum k 0 = 0 entwickelt
Ψ(⃗r) = ∑ n
F n (⃗r)u n0 (⃗r) (4.1)
Der Envelopenfunktionsformalismus vernachlässigt durch die Phänomene auf
der atomen Skala und benutzt einen effektiven Hamiltonian, der auf die sich
schwach ändernde Hüllfunktion F n (⃗r) wirkt.
(ii) Die gitterangepaßten Schichten haben den selben Blochfaktor
u A n0(⃗r) = u B n0(⃗r) ! = u n0 (⃗r) (4.2)
(iii) Mit der Annahme der freien Bewegung der Ladungsträger in der QW-Ebene
können ebene Wellen in dieser Ebene absepariert werden
F n (⃗r) = e (kxx+kyy)i φ n (z) (4.3)
φ n (z) ist die z-Komponente der Hüllfunktion, die auch als Einhüllende bezeichnet
wird.
(iv) Der Hamiltonian des Volumenhalbleiters wirkt auf den Spaltenvektor der
Hüllfunktionen, wobei
k z → −i ∂ ∂z
(4.4)
ersetzt wird.
(v) Das störende QW-Potential (siehe Abbildung 5.1)
⎧
⎨ V 0 = ∆E c/v : z < 0
V (z) = V 1 = 0 : 0 ≤ z ≤ L
⎩
V 2 = ∆E c/v : L < z
(4.5)
oder andere störende Potentiale, wie ein äußeres elektrisches Feld oder Verspannungen
(siehe 4.3), werden zum Hamiltonian addiert.
Ĥ(k x , k y , −i ∂ ∂z ) → Ĥ(k x, k y , −i ∂ ) + V (z) (4.6)
∂z
(vi) Die entsprechenden Materialparameter jeder Schicht, u.a. die Luttingerparameter,
werden im Hamiltonian verwendet.
(vii) An den Grenzflächen gelten für die Wellenfunktion bestimmte Grenzbedingungen
(engl. boundary conditions).