Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

24 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER
Abbildung 2.4: Zustandsdichte eines Leitungsbandes im homogenen Medium.
mit dem Fermiintegral der Ordnung 1/2, das analytisch nicht lösbar ist und durch
Näherungsformeln bestimmt wird [4, 26].
2.1.2 Ladungsdichten im Quantengraben
Für einen Quanten-Well besteht der Wellenvektor ⃗ k nur aus zwei Komponenten.
Die Einschränkung sei in z-Richtung. Der Betrag von ⃗ k im Quantengraben | ⃗ k| =
√
k 2 x + k 2 y wird mit k ρ bezeichnet, der Winkel in der (k x , k y )-Ebene mit φ. Die
Indizes i und j bezeichnen nun die Subbänder. Die Ladungsdichten sind deshalb
n(z) = 2 V
=
p(z) = 2 V
=
∑
|φ i (z)| ∑ 2 f C (E i ( ⃗ k))
⃗ k
i
k
1 ∑
∫ max ∫2π
2π 2 |φ i (z)| 2 f C (E i (
L ⃗ k))dφ dk ρ (2.21)
z
i
∑
|φ j (z)| ∑ (1 2 − f V (E j ( ⃗ )
k))
⃗ k
j
k
1 ∑
∫ max ∫
2π 2 |φ j (z)| 2
L z
j
0
0
0
2π
0
(
1 − f V (E j ( ⃗ )
k))
dφ dk ρ (2.22)
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |φ n (z)| 2 des Subbandes n ist das Betragsquadrat
der Wellenfunktionen. Bei den von z unabhängigen Gesamtladungsdichten
n und p verschwinden die Terme der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Dies entspricht
wegen der Normierung der Wellenfunktionen durch (2.23) der Integration
von n(z)dz bzw. p(z)dz.
∫ ∞
−∞
|φ n (z)| 2 = 1 (2.23)
Mit den Formeln (2.21) und (2.22) können die Quasiferminiveaus aus den Ladungsdichten
oder umgekehrt berechnet werden. Im Lasersimulator sind die Ladungsdichten
im QW durch die Kontinuitätsgleichungen und die Gleichungen der
Wechselwirkung der 3D- und 2D-Ladungsträger (1.9) bis (1.13) bekannt, und die
Quasiferminiveaus sind zu bestimmen.
Mit dem Wechsel des k-Koordinatensystems zu Energiekoordinaten wird mit
1 ∑
2π 2 d 2 k = 1 ∑
kdk = D(E)dE (2.24)
L z πL z
i/j
i/j