Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

62 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW
Die Wellenfunktionen der zweidimensionalen Elektronen bzw. Löcher sind in
jedem der Materialbereiche j eine Linearkombination dieser Bulkwellenfunktionen
(einer hin- und einer herlaufenden Welle)
Ψ j (⃗r) = ∑ n
= ∑ n
(
A j n ⃗ F j n( ⃗ k) e ik ρρ+ik z (z−d j ) + B j n ⃗ F j−
n ( ⃗ k) e ik ρρ−ik z (z−d j ) )
(
A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) e ik z(z−d j ) + Bn j F ⃗ n
j− ( ⃗ ) k) e −ik z(z−d j )
e ik ρρ
(5.3)
Das Minus in ⃗ F j−
N ersetzt kj z durch −k j z.
Der Index j ist 0 für die linke Seite der Barriere, 1 für den Quantum-Well und 2
für die rechte Seite der Barriere. d j sind die Referenzpositionen für die stückweise
Definition der Wellenfunktionen. Der Abstand der Referenzpositionen sei l j = d j −
d j−1 . Man wählt d 3 = d 2 , um mit l 3 = 0 eine Vereinfachung zu erhalten (siehe
Abbildung 5.1). Durch das Setzen von d j (außer das letzte j) auf die Grenze zum
Bereich j + 1, wird an dieser Grenze (z − d j ) = 0 und e ik z(z−d j ) = 1.
Abbildung 5.1: Sowohl die Elektronen- als auch die Löcherzustände werden mit
dem nach oben geöffneten Potentialkasten betrachtet. Die Energiekoordinatenachsen
illustrieren dies. Die Bereiche werden mit
dem Index j numeriert. Es werden die Referenzpositionen d j für
die Wellenfunktionen in der dargestellten Weise eingeführt.
Die Bewegung der Elektronen und Löcher in der Quanten-Well-Ebene kann als
frei betrachtet werden und läßt sich separieren.
Die Wellenfunktion in z-Richtung ist
Ψ j (⃗r) = Ψ j (z) e ik ρρ
(5.4)
Ψ j (z) = ∑ n
(A j n ⃗ F j n( ⃗ k) e ikjn z
(z−dj) + Bn j F ⃗ n
j− ( ⃗ ) k) e −ikjn z (z−d j)
(5.5)
kz j wird durch Auflösen von E n ( ⃗ k) = E(k ρ , kz
jn ) nach kz
jn ermittelt wurde. Da
in kz jn die Dispersion des homogenen Materials steckt, ist es energieabhängig (→
kz
jn (E)).
Die Grenzbedingungen (4.11) und (4.12) müssen erfüllt werden, d.h. es müssen
an den Bereichsgrenzen (5.6) und (5.7)
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.6)
a j ∂ ∂z Ψj (z) + 1 2 bj Ψ j (z) = a j+1 ∂ ∂z Ψj+1 (z) + 1 2 bj+1 Ψ j+1 (z) (5.7)