Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

70 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW
2. am Γ-Punkt die Kalkulation der gekoppelten LH- und SO-Bänder mit dem
blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian (4.52).
5.3.1 Die Kopplung der HH- und LH-Bänder
Der blockdiagonaliserte Hamiltonian ist (4.44)
⎡
2×2 = P ± Q ± ζ
⎢
⎣
˜R ∗
H U|L
˜R
P ∓ Q ∓ ζ
⎤
⎥
⎦ + δE hy (5.51)
In das Potential des Quantum-Wells im Flachbandfall (5.26) wird die hydrostatische
Verspannung hineingenommen und es ist
⎧
⎨ V 0 = ∆E C/V + δEhy B (z) : z < 0
V h (z) = V 1 = δEhy W ⎩
(z) : 0 ≤ z ≤ L (5.52)
V 2 = ∆E C/V δEhy B (z) : L < z
Die zu lösende Schrödingergleichung ist (im Berechnungskoordinatensystem)
⎡
⎢
⎣
P ± Q ± ζ + V h (z)
˜R ∗
˜R
P ∓ Q ∓ ζ + V h (z)
⎤
⎥
⎦ Ψ n(z) = Ēn(kx, ky) Ψ n (z) (5.53)
Für symmetrische Quantum-Wells sind die Ergebnisse von H U und H L gleich.
Die Untersuchungen werden deshalb ab nun auf H U beschränkt.
Die beiden Eigenenergien im homogenen Material sind
√
Ē HH/LH − V h = P ∓ (Q + ζ) 2 + ˜R ˜R ∗ (5.54)
[
= A(kρ 2 + kz) 2 ± B 2 (kρ 2 + kz) 2 2 + C 2 (kxk 2 y 2 + kyk 2 z 2 + kzk 2 x)
2
Dabei sind
+Bζ(k 2 ρ − 2k 2 z) + ζ 2] 1/2
A = ¯h2 γ 1
2m 0
(¯h 2 )
γ 2
B = 2
2m 0
( ¯h
2
)2
C 2 = 12 (γ3 2 − γ
2m
2)
2
0
(5.55)
Daraus ergibt sich für k z
{
)
k z(Ē) 2 = 1
A 2 − B 2 A(Ē − V h) −
(A 2 − B 2 − C2
kρ 2 − Bζ
2
[B 2 (Ē − V h) 2 + AC 2 kρ(Ē 2 − V h) − C
(A 2 2 − B 2 − C2
±
4
] } 1/2
−Bζ[2A(Ē − V h) − (3A 2 − 3B 2 − C 2 )kρ] 2 + A 2 ζ 2
)
k 4 ρ + C 2 (A 2 − B 2 )k 2 xk 2 y
(5.56)