Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

2.1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 23
f C (E i ( ⃗ k)) =
f V (E j ( ⃗ k)) =
1 − f V (E j ( ⃗ k)) =
1
1 + exp E i( ⃗ k)−E F c
k B T
1
1 + exp E j( ⃗ k)−E F v
k B T
exp Ej(⃗ k)−E F v
k B T
1 + exp E j( ⃗ k)−E F v
k B T
=
1
1 + exp E F v−E j ( ⃗ k)
k B T
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Bei den betrachteten Halbleitern befindet sich ein vernachlässigbar kleiner Teil in
höheren Bändern als dem 1. Leitungsband. So kann man sich auf i = 1 beschränken.
Ebenso reicht eine Betrachtung der drei obersten Valenzbänder.
Integriert man anstatt über den k-Raum über die Energie, kommt im Integranden
die Zustandsdichte D(E) hinzu. In der Zustandsdichte der Löcher befinden sich
alle Valenzbänder.
n =
p =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
D C (E)f C (E)dE (2.13)
( )
D V (E) 1 − f V (E) dE (2.14)
Die Zustandsdichte ist die Anzahl der Zustände im Energieintervall (E, E +dE).
Sie ist proportional dem von den Kugelschalen E und E + dE eingeschlossenen
Volumen. Sie ist definiert durch
1 ∑
4π 3 d 3 k = 1 ∑
π 2 k 2 dk = D(E)dE (2.15)
i/j
Auflösen nach D(E) ergibt
D(E) = 1 ∑
π 2 k 2 ·
dk
∣dE
∣ = 1 ∑ k 2
π 2 ∣ dE ∣
i/j
i/j
i/j
dk
(2.16)
Man beachte die Energieabhängigkeit von k = k(E i/j ) in den Gleichungen (2.15)
und (2.16). Die Korrektur durch die Betragszeichen ist notwendig, da bei negativem
dE/dk das Volumen zwischen den Kugelschalen E und E + dE negativ wäre.
Für den homogenen Halbleiter sind mit (2.7) mit der Bandkante des Leitungsbandes
E C und den Bandkanten der Valenzbänder E j0
D C (E) =
D V (E) =
( )
1 2m
∗
3 2 √
E −
2π 2 ¯h 2 EC (2.17)
1 ∑
2π 2
Damit ergibt sich für die Ladungsdichten
j
( 2m
∗
j
¯h 2 ) 3 2 √
Ej0 − E (2.18)
n =
(
kB T m ∗
2
2π¯h 2
p =
( )
kB T
2 ∑
2
2π¯h 2
) 3 ( )
2 EF c − E C
F1/2
k B T
j
m ∗ j
3
2 F 1/2
(
Ej0 − E F v
k B T
)
(2.19)
(2.20)