Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

32 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER
mit den Spins
[
1
↑=
0
]
[
0
↓=
1
]
(3.36)
Aus der Schrödingergleichung für die Blochfunktionen mit dem Hamiltonian
(3.33) erhält man für die gitterperiodischen Funktionen u n ⃗ k
(⃗r) ähnlich zu (3.24)
Ĥu n ⃗ k
(⃗r) =
{ ˆp
2
2m 0
+ V (⃗r) + ¯h2 k 2
2m 0
+ ¯h m 0
⃗ k · ˆp +
¯h
4m 2 0 c2 =
σ ·∇V × ˆp +
}
¯h =
σ ·∇V × ⃗ k
4m 2 0 c2
×u n ⃗ k
(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k
(⃗r) (3.37)
Da ¯h ⃗ k ≪ ˆp in der Nähe des Brillouinzonenzentrums, ist der vierte Term klein
verglichen mit dem dritten Term.
Abbildung 3.1: Im Kane’schen Modell der 4 Bänder HH, LH, SO und CB werden
nur diese im Hamiltonian H berücksichtigt.
3.6 Das Kane’sche Modell
Das Kane’sche Modell nimmt einen Teil der Bänder in die Störungsrechnung hinein.
Die anderen werden nicht berücksichtigt (siehe Abbildung 3.1). Die Eigenfunktionen
bei k werden als Linearkombinationen der Nullpunktseigenfunktionen dargestellt :
u n ⃗ k
(r) = ∑ m
c m u m0 (⃗r) (3.38)
Nimmt man die Bänder der schweren (HH) und der leichten Löcher (LH), das
Spin-Orbit-Split-off-Band (SO) und das unterste Leitungsband (CB) in das Kane’sche
Modell, wählt man als System von Eigenfunktionen |S ↑>, |S ↓>, |X ↑>,
|Y ↑>, |Z ↑>,|X ↓>,|Y ↓> und |Z ↓> und erhält eine 8×8-Hamiltonmatrix, die