Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

68 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW
mit
und
P j =
[
M j =
e −ikj z l j
0
0 e ikj z l j
[
1 1
k j z
m j z
− kj z
m j z
Die Inverse von M j lässt sich einfach ausdrücken
⎡
M −1
j = 1 ⎣ 1
2
m j z
k j z
1 − mj z
k j z
Die Übertragungsmatrix T j+1 vom Bereich j + 1 zu j ist
]
]
⎤
(5.40)
(5.41)
⎦ (5.42)
T j+1 = M −1
j M j+1 P j+1 (5.43)
⎡ (
)
) ⎤
= 1 1 + mj z k j+1
e −ikj+1
⎣ kz
j m j+1
z l j+1
(1 − mj z k j+1
e ikj+1
z
kz
j m j+1 z l j+1
(
)
z ) ⎦(5.44)
2 1 − mj z k j+1
e −ikj+1
kz
j m j+1
z l j+1
(1 + mj z k j+1
e ikj+1
z
kz
j m j+1 z l j+1
z
Die Übertragung vom Bereich j = 2 zum Bereich j = 0 wird durch das Produkt
erreicht.
( ) ( )
A
0
A
2
B 0 = T 1 · T 2
B 2 = 1 ( ) ( )
Ua U b A
2
2 U c U d B 2 (5.45)
Die Bedingung (5.16), daß die Wellenfunktion im Unendlichen 0 wird, hat zur
Folge, daß A 0 = 0 und B 2 = 0 sein müssen. Das ist erfüllt, wenn U a = 0 wird
(5.46). Diese Bedingung wird jedoch nur für diskrete Energien erfüllt.
U a = 1 4
= 1 4
[ (
1 + m0 z
k 0 z
[(
1
1 − m0 z
4 kz
[ 0 (
1 + m0 z
k 0 z
kz
1
m 1 z
kz
1
m 1 z
kz
1
m 1 z
)
e −ik1 z L ][ (
1 + m1 z
k 1 z
)
e ik1 z L ] [(
1 − m1 z
)(
1 + m1 z
k 1 z
kz
2
m 2 z
k 1 z
kz
2
m 2 z
kz
2
m 2 z
) ] +
)]
)
e −ik1 z L +
(
1 − m0 z
k 0 z
kz
1
m 1 z
)(
1 − m1 z
k 1 z
kz
2
m 2 z
)
e ik1 z L ]
= 0 (5.46)
Mit der Annahme, daß die Bereiche j = 0 und j = 2 dasselbe Material haben
und t(Ē) = 4U a ist, führt zu k 2 z = k 0 z und m 2 z = m 0 z und
t(Ē) =
(
1 + m0 z
k 0 z
kz
1
m 1 z
)(
1 + m1 z
k 1 z
kz
0
m 0 z
) (
e −ik1 z L + 1 − m0 z
kz
0
kz
1
m 1 z
)(
1 − m1 z
k 1 z
kz
0
m 0 z
)
e ik1 z L = 0
(5.47)
Die Nullstellen von t(Ē) werden ermittelt, indem die Orte der Singularitäten von
log(|t(Ē)|) gesucht werden. log(|t(Ē)|) ist in der Abbildung 5.2 auf Seite *** (obere
Kurve) für die schweren Löcher bei k ρ = 0 in einem 10nm breiten, unverspannten
GaAs−Al 0,1 Ga 0,9 As- Quantum-Well dargestellt. Es ist m 0 z = m 0 ρ = m Al0,1Ga 0,9As =
0, 3885m 0 , m 1 z = m 1 ρ = m GaAs = 0, 3774m 0 , V 0 = 0, 0562 eV und V 1 = 0. Man