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38 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER m 0 m ∗ hh m 0 m ∗ lh [100] γ 1 − 2γ 2 γ 1 + 2γ 2 [110] 1 2 (2γ 1 − γ 2 − 3γ 3 ) 1 2 (2γ 1 + γ 2 + 3γ 3 ) [111] γ 1 − 2γ 3 γ 1 + 2γ 3 Tabelle 3.4: Effektive Löchermassen am Γ-Punkt in verschiedene Kristallrichtungen. Die Luttingerparameter stellen für die Bandstrukturberechnung mit der k·p - Methode vernünftige Größen dar, jedoch haben sie keine direkte physikalische Bedeutung. Aber sie stehen in Zusammenhang mit den effektiven Löchermassen in verschiedene Kristallrichtungen (Tabelle 3.4). So können z.B. aus dem Experiment bestimmte effektive Massen und die Luttingerparameter ineinander umgerechnet werden. Die akzeptierten Werte der Spinbahnabspaltung sind ∆ GaAs = 0, 34 eV , ∆ AlAs = 0, 28 eV und ∆ InAs = 0, 38 eV [48, 46, 44], die durch Elektroreflektion an Schottky- Barrieren gemessen wurden. Vurgaftman et al empfiehlt neu ∆ InAs = 0, 39 eV . Die Spinabspaltung wird für Al x Ga 1−x As und für In x Ga 1−x As aus denen ∆ von GaAs und AlAs bzw. InAs durch lineare Interpolation wie in (3.59) bestimmt. Für GaAs wird die Bandlücke am Zonenzentrum (Γ-Punkt) bei einer Temperatur von 300 K meist mit Eg GaAs = 1, 424 eV angegeben [48]. Die Bandlücke ist stark temperaturabhängig. Man setzt die empirische Varschni-Formel [44] an: E g (T ) = E g (T = 0) − αT 2 T + β (3.60) Für GaAs werden von Levinshtein und Rumyantsev [49] und Vurgaftman et. al. [44] ähnliche Werte von E g (T = 0) = 1, 519 eV , α GaAs = 0, 5405 meV/K und β GaAs = 204 K angegeben. Da bei AlAs und für Al x Ga 1−x As (mit x > 0, 45) sich kein Minimum des Leitungsbandes am Γ-Punkt befindet, ist eine Unterscheidung zwischen der eigentlichen Bandlücke (2, 168 eV ) und der am Zonenzentrum wichtig. Da die letztere für die k·p-Berechnung entscheidend ist, wird sie in dieser Arbeit ebenso als E g bezeichnet. Sowohl Chuang [46] als auch Vurgaftman et. al. [44] geben die Bandlücke bei Raumtemperatur mit Eg AlAs = 3, 03 eV und bei 0 K mit Eg AlAs (T = 0) = 3, 13 eV an. Die Temperaturabhängigkeit beschreiben α AlAs = 0, 885 meV/K und β AlAs = 530 K [44]. Die Bandlücke von InAs besitzt eine höhere Temperaturabhängigkeit. Die Werte von Lawaetz et al [41], Chuang [46] und Vurgaftman et al [44] stimmen nahezu überein. Bei Raumtemperatur ist Eg InAs = 0, 354 eV und bei 0 K ist Eg InAs (T = 0) = 0, 417 eV . Die Faktoren der Varschni-Formel sind α InAs = 0, 276 meV/K und β InAs = 93 K [44]. Die Bandlücke für Legierungen von GaAs und AlAs bzw. InAs wird oft durch lineare Interpolation zwischen den GaAs- und AlAs- bzw. InAs-Bandlücken ermittelt. Genauer setzt man E g an, wenn man die Bandlücken nicht linear, sondern mit einem Polynom dritten (bzw. zweiten) Grades interpoliert [44]: E Al xGa 1−x As g = (1 − x)Eg GaAs + xEg AlAs + x(1 − x)(0, 127 + 1, 310x)eV (3.61) E In xGa 1−x As g = (1 − x)Eg GaAs + xEg InAs + x(1 − x) · 0, 477eV (3.62) Obwohl ab-inito-Bandstrukturmethoden effektive Elektronenmassen für GaAs von teils weit über 0, 07 m 0 erhalten [50, 47], ist der akzeptierte Wert m GaAs e =
3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -METHODE 39 0, 067 m 0 [7, 42, 46, 11, 44], der in dieser Arbeit verwendet wird. Jedoch empfehlen Vurgaftman et. al. [44] für Raumtemperatur den durch Photolumineszenzmessungen bestätigten Wert von 0, 0635 m 0 . Für AlAs wird durch Messungen, theoretischen Berechnungen [47] und Extrapolationen von AlGaAs eine effektive Elektronenmasse [44] m AlAs e = 0, 150 m 0 erhalten. Für InAs wird meist m InAs e = 0, 023 m 0 verwendet ([41, 46]). Für niedrige Temperaturen wurden höhere effektive Elektronenmassen gemessen [11, 44]. Parameter GaAs AlAs InAs Al x Ga 1−x As In x Ga 1−x As γ 1 6,85 3,45 20,4 6,85 - 3,40x 6,85+13,55x γ 2 2,10 0,68 8,3 2,10 - 1,42x 2,10 + 6,2x γ 3 2,90 1,29 9,1 2,90 - 1,61x 2,90 +6,2x ∆ (eV) 0,34 0,28 0,38 0,34 - 0,06x 0,34+0,04x E g (eV) 1,424 3,03 0,354 1,424 + 1,606x 1,424-1,07x m e /m 0 0,067 0,150 0,023 0,067 + 0.083x 0,067-0,044x Tabelle 3.5: Die gängigen Materialparameter mit linearer Interpolation für Legierungen bei T = 300 K. Als Weiterentwicklung der gewöhnlich benutzten, linearen Interpolation der effektiven Massen von für Legierungen AB kann die Formel 3.63 von Nelson [51] verwendet werden. Sie beruht auf der Proportionalität der effektiven Masse zur Bandlücke E g m AB = m B + [ m A − m EAB B] g Eg A Setzt man (3.61) und (3.62) in (3.63) ein, erhält man − E B g − E B g (3.63) m Al xGa 1−x As = m GaAs + [ m AlAs − m GaAs] (−0, 816x 2 + 0, 737x + 1, 079)x (3.64) m InxGa1−xAs = m GaAs + [ m InAs − m GaAs] (0, 446x + 0, 554)x (3.65) Diese Formel ist direkt auf die effektive Elektronenmasse anwendbar (Tabelle 3.6). Parameter GaAs AlAs InAs Al x Ga 1−x As γ 1 6,98 3,76 20,0 −0, 60x 3 + 4, 24x 2 − 6, 86x + 6, 98 γ 2 2,06 0,82 8,5 −0, 47x 3 + 2, 12x 2 − 2, 89x + 2, 06 γ 3 2,93 1,42 9,2 −0, 36x 3 + 2, 15x 2 − 3, 3x + 2, 93 ∆ (eV) 0,34 0,28 0,39 0,34 - 0,06x E g (eV) 1,424 3,03 0,354 −1, 31x 3 + 1, 437x 2 + 1, 479x + 1, 424 m e /m 0 0,0635 0,150 0,023 −0, 071x 3 + 0, 064x 2 + 0, 093x + 0, 0635 Parameter In x Ga 1−x As γ 1 52, 11x 4 − 65, 55x 3 + 24, 27x 2 + 2, 19x + 6, 98 γ 2 26, 05x 4 − 32, 78x 3 + 12, 11x 2 + 1, 06x + 2, 06 γ 3 25, 99x 4 − 32, 75x 3 + 12, 03x 2 + x + 2, 93 ∆ (eV) 0,34 + 0,05x E g (eV) −0, 477x 2 − 0, 593x + 1, 424 m e /m 0 −0, 018x 2 − 0, 0225x + 0, 0635 Tabelle 3.6: Neue Materialparameter mit Interpolationen höherer Ordnung für Legierungen bei T = 300 K.
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