Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 109
HH- und LH-Band gekoppelt
Die Wellenfunktionen der Löchereigenzustände besitzen zwei Komponenten. Diese
seien φ h und φ l . Da die betrachteten Quantum-Wells symmetrisch sind, sind die
Wellenfunktionen des oberen Blockes H U und des unteren Blockes H L in (4.44)
identisch und müssen nicht unterschieden werden.
Für die TE-Polarisation wird [46, 94]
[
|M i,j | 2 = 3 √ 〈φ
c
4 i |φ h 〉 2 1 〈
j + φ
c
3 i |φ l 2 6
j〉
+
3 cos 2φ 〈 φ c i|φ h 〉 〈
j φ
c
i |φ l 〉 ]
j Mb 2 (7.19)
φ ist der Winkel zwischen k x und k y , über den in (7.2) integriert wird. Da cos 2φ =
− cos 2(90 o −φ) und für die Bandstruktur E(k ρ , φ) = E(k ρ , 90 o −φ) (siehe Abbildung
4.5), wird der cos 2φ-Term in der Integration zu Null. Deshalb kann man den Term
im optischen Impulsmatrixelement streichen. Somit wird Gleichung (7.19) zu
|M i,j | 2 = 3 [ ]
〈φ
c
4 i |φ h 〉 2 1 〈
j + φ
c
3 i |φ l 〉 2
j Mb 2 (7.20)
Für die TM-Polarisation wird zu
|M i,j | 2 = 〈 φ c i|φ l j〉 2
M
2
b (7.21)
In den Impulsmatrixelementen wurden für die Produkte der Blochfaktoren das
Quadrat des optischen Matrixelementes des homogenen Mediums Mb
2 benutzt und
somit θ-Winkelabhängigkeiten nicht berücksichtigt.
HH-, LH- und SO-Band gekoppelt
Die Wellenfunktionen der Löchereigenzustände besitzen nun die drei Komponenten
φ h , φ l und φ s , die für die beiden Blöcke des Hamiltonian (4.52) im symmetrischen
Quantum-Well identisch sind.
Für die TE-Polarisation wird [77]
|M i,j | 2 =
4[ 3 〈φ
c
i |φ h 〉 2 1
j +
3
+
〈
φ
c
i |φ l 2 2 〈
j〉
+ φ
c
3 i |φ s 〉 2
j
(7.22)
√
6
3 cos 2φ (〈 φ c i|φ h 〉 〈
j φ
c
i |φ l 〉 〈
j + 2 φ
c
i |φ h 〉 〈
j φ
c
i |φ s j〉)
+ 2√ 2
3
(7.23)
〈
φ
c
i |φ l 〉 〈
j φ
c
i |φ s 〉 ]
j Mb 2 (7.24)
Die beiden Terme mit cos 2φ können wegen der Spiegelsymmetrie um die 〈11〉-Achse
aus |M i,j | 2 genommen werden.
|M i,j | 2 =
4[ 3 〈φ
c
i |φ h 〉 2 1 〈
j + φ
c
3 i |φ l 2 2 〈
j〉
+ φ
c
3 i |φ s 〉 2
j
(7.25)
+ 2√ 2
3
〈
φ
c
i |φ l 〉 〈
j φ
c
i |φ s 〉 ]
j Mb 2 (7.26)
Für die TM-Polarisation wird das optische Impulsmatrixelement zu
[
〈φ
|M i,j | 2 c
= i |φ l 〉 2 3 √ ]
2 〈
j − φ
c
2 i |φ s 〉 2
j Mb 2 (7.27)