Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3
Die Bandstruktur im
homogenen Halbleiter
3.1 Störungstheoretischer Ansatz
Zur Behandlung des quantenmechanischen Eigenwertproblems, der Schrödingergleichung
ĤΨ = EΨ (3.1)
wird als eine wichtige Methode ein störungstheoretischer Ansatz verwendet [4]. In
seiner herkömmlichen Form hat der Operator Ĥ die Form Ĥ = Ĥ0 + ˆV , wobei die
Eigenwerte und Eigenzustände der ungestörten Schrödingergleichung
Ĥ 0 Φ n = ɛ n Φ n (3.2)
bekannt sind. Gegenüber Ĥ0 ist die Störung ˆV klein. Die Störungstheorie ist eine
Entwicklung der Eigenwerte und Eigenzustände von Ĥ nach den bekannten
genäherten Eigenwerten und Eigenzuständen von Ĥ0 in Potenzen des Störungsparameters
λ. Häufig werden nur die erste und zweite Ordnung betrachtet.
Die Eigenfunktion Ψ n und ihre Eigenenergie E sind bis zur ersten bzw. zweiten
Ordnung der Störung:
Ψ n = Φ n + ∑ m≠n
E n = ɛ n + V nn + ∑ m≠n
V mn
Φ
E n (0) − E m
(0) m (3.3)
|V mn | 2
E (0)
n − E (0)
m
(3.4)
mit
∫
V mn =
Φ ∗ m ˆV Φ n d 3 r. (3.5)
3.2 Matrixformulierung der Schrödingergleichung
Das Problem (3.1) kann auch direkt gelöst werden, indem die Eigenfunktionen von
Ĥ durch eine Linearkombination der Eigenfunktionen Φ n (n = 1, 2, .., N) von Ĥ0
dargestellt werden.
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