Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

30 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER
3.4 k·p -Methode
Zur Untersuchung der elektronischen und optoelektronischen Eigenschaften eines
Halbleiters, ist die Kenntnis seiner Bandstruktur nötig. Die untersuchten Ma terialien
GaAs, AlGas und Al x Ga 1−x As kommen in einem Zinkblendegitter vor und
sind direkte Halbleiter (siehe Kapitel 2). D.h. die Extrempunkte der Bänder liegen
im Brillouinzonenzentrum Γ, also bei k 0 = 0, wie man durch Untersuchung der Symmetrieeigenschaften
nachweist. Da dadurch die Elektronen nahe des Minimums des
Leitungsbandes und die Löcher in der Nähe des Valenzbandmaximums konzentriert
sind, ist die Kenntnis der Bandstruktur in der Nähe des Brillouinzonenzentrums
ausreichend.
Im Kristall wird ein Ladungsträger durch eine gitterperiodisch modulierte ebene
Welle repräsentiert, d.h. seine Wellenfunktion läßt sich als Produkt einer gitterperiodischen
Blochfunktion u n ⃗ k
(⃗r) und e i⃗ k·⃗r darstellen :
Ψ n ⃗ k
(⃗r) = e i⃗ k·⃗r u n ⃗ k
(⃗r) (3.22)
Ist u = const, wird Ψ = c · e i⃗k·⃗r und das Elektron verhält sich wie ein freies
Teilchen und wird durch eine ebene Welle repräsentiert.
So ist die Schrödingergleichung
( )
ˆp
2
Ĥ 0 (ˆp)Ψ n ⃗ k
(⃗r) = + V (⃗r) Ψ
2m n ⃗ k
(⃗r) = E n ( ⃗ k)Ψ n ⃗ k
(⃗r) (3.23)
0
Mit ˆp = ¯h i
∇ wird aus (3.23) und (3.22)
e i⃗ k·⃗r
(− ¯h2
)
(− ¯h2 ∇ 2 + V (⃗r) e i⃗k·⃗r u
2m n ⃗ k
(⃗r)
0
)
= E n ( ⃗ k) · e i⃗k·⃗r u n ⃗ k
(⃗r)
u n ⃗ k
(⃗r) = E n ( ⃗ k)e i⃗k·⃗r u n ⃗ k
(⃗r) (3.24)
(∇ 2 + 2i
2m ⃗ k∇ − k 2 ) + V (⃗r)
0
(
)
ˆp 2
+ ¯h⃗ kˆp
+ ¯h2 k 2
+ V (⃗r)
2m 0 m 0 2m 0
u n ⃗ k
(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k
(⃗r)
Die k·p -Methode ist eine Variante der Störungstheorie, bei der die Zustände
bei k > 0 um k 0 entwickelt werden. Dabei werden für kleine k die beiden Terme
Ĥ 1 = ¯h2 k 2
2m 0
,
als Störung von (3.23) bei k 0 = 0 betrachtet. Bei k 0 ist
Ĥ 2 = ¯h⃗ kˆp
m 0
(3.25)
( )
ˆp
2
+ V (⃗r) u
2m n ⃗ k0
(⃗r) = E n ( ⃗ k 0 )u n ⃗ k0
(⃗r) (3.26)
0
Dabei bildet nur Ĥ2 Interbandmatrixelemente wie in (3.5).
Der k·p -Hamiltonian nahe des Zonenzentrums ist somit
Ĥ k· = Ĥ0 + ¯h2 k 2
2m 0
+ ¯h⃗ kˆp
m 0
(3.27)
Die Wellenfunktionen der Ladungsträger sind in dem störungstheoretischen Ansatz
eine Linearkombination der orthonormierten Blochfunktionen u n (n=1,2,..,N)
(3.3).