Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

5.4. BERECHNUNG DER DREIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 77
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
u j ∂ ∂z
−v j √
2
2 vj
v j w j ∂ ∂z
x j ∂ ∂z + √ 6
2 vj
− √ 2
2 vj x j ∂ ∂z − √ 6
2 vj y j ∂ ∂z
u j+1 ∂ ∂z
−v j+1 √
2
2 vj+1
⎤
⎥
⎦ Ψj (z) =
v j+1 w j+1 ∂ ∂z
x j+1 ∂ ∂z + √ 6
2 vj+1
− √ 2
2 vj+1 x j+1 ∂ ∂z − √ 6
2 vj+1 y j+1 ∂ ∂z
⎤
⎥
⎦ Ψj+1 (z) (5.97)
gelten. Die Bedingungen werden in der Matrixform (5.13) geschrieben. P j wird
synchron zu (5.65) gebildet und die erste Spalte von M j ist
⎡
M j =
⎢
⎣
F j 1HH
F j 2HH
F j 3HH
(
ikz j,HH u j F j 1HH − v j F j 2HH − √ 2
) (
v j (F j 1HH + √ 6
2 F j 3HH
− √ 2
2 vj (F j 1HH + √ 3F j 2HH
+ ikz
j,HH
)
+ ik j,HH
z
2 F j 3HH
)
)
w j F j 2HH + xj F j 3HH
(
x j F j 2HH + yj F j 3HH
)
⎤
. . .
⎥
⎦
(5.98)
In gewohnter Weise werden die Übertragungsmatrizen in Abhängigkeit von Ē
gebildet. Für die Eigenenergien ist det U a = 0 (nahezu) erfüllt und somit
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
A 2 HH U 11 U 12 U 13 A 2 HH 0
U a ⎢ A 2 LH ⎥
⎣ ⎦ = ⎢ U 21 U 22 U 23 ⎥ ⎢ A 2 LH ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦ = ⎢ 0 ⎥ (5.99)
⎣ ⎦
U 31 U 32 U 33 0
A 2 SO
A 2 SO
Die numerische Ungenauigkeit wird durch die Gauß’sche Methode der kleinsten
Fehlerquadrate ausgeglichen. Setzen von A 2 HH = 1 führt zu
⎡
⎤
⎡ ⎤
[ A
2
] U 12 U 13 [
LH
A
2
] −U 11
LH
U = ⎢ U 22 U 23 ⎥ = ⎢ −U 21 ⎥ (5.100)
A 2 ⎣
⎦
SO
A 2 ⎣ ⎦
SO
U 32 U 33
Durch eine QR-Zerlegung von U folgt
⎡
⎤
⎡
R 12 R 13 [ A
2
]
LH
⎢ 0 R 23 ⎥ = ⎢
⎣
⎦ A 2 ⎣
SO
0 0
und
A 2 SO = R (
13 U12
− U )
11
R 12 R 23 R 12
−U 11
−U 21
−U 31
⎤
⎥
⎦
−U 31
(5.101)
A 2 LH = − U 21
R 23
(5.102)